Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires - Mathématiques - Terminale S

Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires - Mathématiques - Terminale S

Découvrez le chapitre 3 du programme de Mathématiques de Terminale S.

Notre professeur vous propose un cours intitulé "Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires". Vous vous intéresserez donc aux fonctions continues, mais aussi au lien entre continuité et dérivabilité. Enfin, vous aborderez le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection.

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I. Fonctions continues

1. Définition 1

On a la première définition suivante : soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I. On dit que f est continue en x0 si et seulement si 282fedba-644e-4490-856f-d66c3ccd701b

Le contraire de « f est continue en x0 » se dit : « f est discontinue en x0 ».

Exemple : la fonction f(x) = x² est continue en x0 = 2 alors que la fonction partie entière inférieure de x, notée f(x) = ∣x∣, est discontinue en chaque entier relatif.

2. Définition 2

Par extension de la première définition, on obtient la définition suivante : on dit que f est continue sur l'intervalle I si f est continue en tout x0 de I.

On peut établir les remarques importantes suivantes :

  • pour que f soit continue en x0, il faut d'abord qu'elle soit définie en x0
  • graphiquement, la fonction est continue si sa courbe est obtenue « sans lever le crayon »
  • les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition

3. Propriété

On peut admettre la propriété suivante : toute fonction obtenue par construction à partir des fonctions polynômes, trigonométriques, racine carrée ou exponentielle par addition, multiplication, division ou composition est continue sur tout intervalle où elle est définie.

II. Continuité et dérivabilité

On peut établir le théorème suivant : si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0.

Démontrons ce théorème :

Si f est dérivable en x0, alors on a :

fad7b37d-319b-4264-ac87-323c920a921c

D'où

da101cdf-a89f-4efc-8201-6ff1dbf62002

Ainsi, on a bien démontré ce théorème.

Attention cependant : la réciproque de ce théorème est fausse !

III. Théorème de la valeur intermédiaire

1. Théorème de la valeur intermédiaire

On a le théorème, admis, suivant : soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I avec a < b. Alors pour tout nombre k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k.

On doit noter que l'hypothèse de la continuité est indispensable pour appliquer ce théorème.

2. Convention

On peut établir la convention énoncée ci-après : on conviendra que les flèches placées dans un tableau de variations traduisent le sens de variation de la fonction et sa continuité.

3. Théorème de la bijection

Nous avons maintenant un nouveau théorème : soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I. Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c dans l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k.

Démontrons ce théorème :

On suppose que f est strictement croissante sur I.

On a ainsi : f(a) < f(b).

Soit k ∈ [f(a) ; f(b)].

D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe au moins un réel c dans [a;b] tel que f(c) = k

On suppose qu'il existe c1 et c2 tels que f(c1) = k et f(c2) = k.

On a c1 < c2 alors f(c1) < f(c2) car f est strictement croissante.

C'est en contradiction avec f(c1) = f(c2).

On en déduit donc que c est unique.

La démonstration est terminée.

4. Application

On souhaite maintenant appliquer ce que l'on a vu précédemment.

Montrons que l'équation suivante : x3 - 3 × x + 1 = 0 admet une solution unique dans l'intervalle [0;1] :

On pose : f(x) = x3 - 3 × x + 1

On sait que f est une fonction polynôme, donc f est continue sur ℝ.

Nous avons les égalités suivantes : f(0) = 1 et f(1) = -1.

Or, 0 appartient à l'intervalle [-1;1].

Donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;1].

Cette fonction f étant dérivable sur ℝ, on a : f'(x) = 3 × x² - 3 = 3 × (x² - 1).

Ainsi, f'(x) ≤ 0 sur [0;1].

On en déduit que f est strictement décroissante sur [0;1].

D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 0 admet une seule solution.

Cette solution c est donc bien dans l'intervalle [0;1].

Pour trouver cette solution, on utilise la méthode de la dichotomie :

f(0,5) < 0 donc d229db7d-3706-492a-8b53-62c5fe36b516

f(0,25) < 0 donc 56834c55-8c91-484a-9772-4ff3bec90262

f(0,375) < 0 donc ef3df348-c662-4b50-9660-6dd71aba5f22

f(0,34375) < 0 donc 0cf3a1e2-25da-417e-a7b9-3a6e5ebb0b0e

f(0,359375) < 0 donc 39792064-ec40-471b-9e3d-0d5ae9930414

On continue suivant la précision souhaitée…

On obtient ici : 0,34 < c < 0,35 pour une précision au centième près.

5. Théorème complémentaire

On peut établir le théorème complémentaire suivant : si f est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle [a;b[, où b désigne un réel ou +∞ (raison pour laquelle elle ne peut être définie en b), alors pour tout nombre k compris entre f(a) et 0ce665fa-95e5-4881-b365-7f94ef758ac7 l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a;b[.

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

JunSuy
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20/20

Merci beaucoup pour toutes ces fiches !

par - le 26/05/2013

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