Conditionnement et indépendance des probabilités - Mathématiques - Terminale S

Conditionnement et indépendance des probabilités - Mathématiques - Terminale S

Pour tout savoir des probabilités conditionnelles et l'indépendance, notre professeur de maths vous propose de revoir à présent la notion de conditionnement et indépendance au travers d'une fiche de révision synthétisant l'essentiel de ce cours...

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Pour tout savoir des probabilités conditionnelles et l'indépendance, notre professeur de maths vous propose de revoir à présent la notion de conditionnement et indépendance au travers d'une fiche de révision synthétisant l'essentiel de ce cours du programme de terminale pour vous !

Rappels :

Au cours d'une expérience, on appelle :
Univers ? : ensemble des issues (résultats) possibles.
Evènement : une partie de l'univers
Evènement élémentaire : ne comportant qu'une seule issue.
Evènement certain (noté ?)
Evènement impossible (noté ?)
Si A et B sont deux évènements on note :
A U B : réaliser A ou B (réaliser A ou réaliser B ou réaliser A et B)
A ? B : réaliser A et B
? : évènement contraire de A (ne pas réaliser A)
A ? B : différence symétrique réaliser soit A soit B
On appelle une loi de probabilité une application p : ? ? [0 ; 1] qui vérifie :
P(?)=1
P( ? )=0
P(A U B )= P(A) + P(B) - P( A ? B )
Si A ? B, alors P(A)?P(B)
P(?)=1-P(A)
Si A ? B = ?, les évènements A et B sont dits disjoints (ou incompatibles) alors P(A U B )= P(A) + P(B)
Si les évènements sont notés E1, E2, ..., En alors P(E1)+P(E2)+...+P(En)=1
Cardinal : Le cardinal de A est le nombre d'issues contenues dans A noté card(A)
La probabilité d'un évènement A, noté P(A)= card (A)/ card (?).

Le conditionnement

Définition : Si A et B sont 2 évènements (non impossible), on définit la probabilité conditionnelle :
= « Probabilité de A sachant B », on peut aussi le noter :
Formule :
Les probabilités conditionnelles se représentent facilement à l'aide d'un arbre de probabilité :
Ici on représente une classe mixte, ou la probabilité de choisir une personne avec des yeux verts, bleus, marrons dépend aussi du genre de la personne choisit. On remarquera que la somme des probabilités partant d'un même nœud est 1 et que les probabilités calculées sont des probabilités conditionnelles.

Formules des probabilités totales

Partition

Une partition de l'univers ? est la donnée de r parties de ? : A1, A2, ..., Ar tel que:
A1 U A2 U ...U Ar = ?
Ai ? Aj = ? si i?j
Deux exemples évidents de partitions :
La partition en évènement élémentaires
(A ; ?) est une partition de ?.

Formule

Si A1, .., Ar est une partition de ? alors P(A1)+P(A2)+...+P(Ar)=1 et P(Ai ? Aj) = 0 si i?j

Evènements indépendants

Définition

Deux évènements A et B sont indépendants si P(A ? B)=P(A)*P(B). La réalisation d'un évènement n'a pas d'influence sur la réalisation de l'autre.

Conséquences directes

  • Si A et B sont indépendants, alors en général A ? B ? ?. En effet, si A ? B =? avec A et B indépendants, alors P(A ? B)=0=P(A)*P(B).
    Donc P(A)=0 ? A= ? ou P(B)=0 ? B= ?
    Si A et B sont dépendants, alors P(A|B)= P(A)=P(A ? B)/P(B)= P(A)*P(B)/P(B)

Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire X est une application définie de X : ? ? R (ou un autre ensemble)

Exemple

a.
Si ? s'écrit {w1, w2, ..., wn}
Si X(?) s'écrit {x1, x2, ..., xp}
La loi de probabilité de X est la donnée de P(X=x1) ; P(X=x2) ; ... ; P(X=xp)
b.
Un jeu consiste à lancer un dé (6 faces, non pipé).
Le joueur :
Gagne 3€ si le résultat est 6 ;
Perd 1€ si le résultat est impair
Ne gagne rien sinon
On appelle X le gain algébrique du joueur. Donnons la loi de probabilité de X :
Ici on a ? = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} et X(?)={-1 ;0 ;3}
En général, on présente une loi de probabilité sous forme d'un tableau :

X
-1
0
3
P(X)
½
1/3
1/6

Remarque: Il est toujours indispensable de vérifier que la somme des probabilités vaut 1!

Espérance d'une variable aléatoire

L'espérance d'une variable aléatoire X est le nombre :

C'est la moyenne des valeurs prises par cette variable aléatoire pondérées par leurs probabilités d'apparition.
Dans l'exemple précédent on a E(X)= -1*1/2+0*1/3+3*1/6 = 0
Le joueur a donc une espérance de gain de 0 en moyenne ! on peut en conclure que le jeu est équitable.

Variance et Ecart type

La variance d'une variable aléatoire X est le nombre


L'écart type correspond à la racine de la variance.
La variance et l'écart type sont des caractéristiques de dispersion.

Indépendance de variable aléatoire

X et Y sont deux variables aléatoires indépendants tels que pour:
X(?)={x1,..,xp} et Y(?)={y1,...,yk}
On a P(X=xi ? Y=yj)=P(X=xi)*P(Y=yj) pour tout i

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