Calculs de dérivées : Compléments - Mathématiques - Terminale S

Calculs de dérivées : Compléments - Mathématiques - Terminale S

Notre professeur vous propose un cours de Mathématiques niveau Terminale S intitulé "Calculs de dérivées : compléments".

Vous verrez tout d'abord quelques rappels sur la dérivation, comme l'équation de la tangente en un point. Par la suite, vous aborderez les formules complémentaires (dérivée de √u,  dérivée de un n ∈ ℤ*, dérivée de x → u(ax + b). Vous vous intéresserez également aux fonctions sinus et cosinus. Enfin, vous trouverez deux tableaux récapitulatifs sur le calcul de dérivées.

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Dérivation

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I. Rappels sur la dérivation

Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si la limite de 672e9cae-48f4-4246-8907-4fb567786caf quand h tend vers 0 est finie.

Cette limite l est appelée nombre dérivé de f en a et on note f'(a) = l.

Le quotient 672e9cae-48f4-4246-8907-4fb567786caf est appelé le taux d'accroissement de f entre a et a + h.

Propriété 1 (Équation de la tangente en un point)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative dans un repère bd5b018e-fbb6-4126-a8c8-08073e50b171.

Une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a est :

61d6f23d-d518-490c-9141-a6bc5148cd43

Propriété 2 (Opérations sur les dérivées)

Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On a alors :

  • ​(f + g)' = f' + g'
  • (kf)' = kf' avec k ∈ ℝ
  • (fg)' = f'g + g'f
  • 12f3d91c-5b68-4a13-888a-94c6039433d9 f ne s'annulant pas
  • 8f81de78-7f1b-43e1-85c7-09b1f9dfd955 g ne s'annulant pas

II. Formules complémentaires

1. Dérivée de √u

Propriété 3 : Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors, la fonction f définie sur I par a7fa2274-6a4f-466c-99de-1668d3c22722 est dérivable sur I et 9cb6008c-55a8-4323-8a95-e9504095405d pour tout xI.

Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par 37d08a0b-b1e3-4513-a646-8f48e460558e

La fonction u par 765ed91a-ff5c-4375-8b7c-f3ed2a465994 est définie, dérivable et strictement positive sur ℝ et 1eb70fca-d4a1-4526-9847-bfc55405ef43.

Par conséquent, f est dérivable sur ℝ et 77a9e0e1-212c-47da-8b8c-0494bd08fa3b pour tout x ∈ ℝ.

Preuve : Soit a un réel appartenant à I et h un réel tel que a + h appartienne également à I. On calcule le taux d'accroissement : 

57e26739-31dc-486d-a837-2ef19ec98a7d

u est dérivable sur I donc a5397cca-6a2a-450c-8246-61693303a909

u est continue sur I donc e317abc8-dec0-4148-adfc-8e345d8b41d7

Par conséquent, b2721cd1-c0ec-4324-8eee-924050b85c10

Ce résultat est valable pour tout a de I. On a donc bien 6c177faf-311e-45cd-92e7-8efaef48bacex ∈ ℝ

2. Dérivée de un n ∈ ℤ*

Propriété 4 : Soit n un entier relatif non nul et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle U, ne s'annulant pas sur I quand n < 0.

La fonction f définie sur I par 905f830b-879f-4c43-a06e-25084a8b8af1 est dérivable sur I et on a 5fb5c8a4-b1c1-4f10-87e0-7d6d54558056 pour tout x ∈ I.

Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par 1ff8493a-7e7e-4e47-b171-3fcffeb61277. La fonction u définie sur ℝ par c5b11d54-5090-445d-aa8f-ebc3515b2add est dérivable sur ℝ et 5bc79347-d3f2-4930-9222-f8ad9764df9b.

Donc f est dérivable sur ℝ et 3952d6ed-b417-44a8-90c8-90c498d35e46

Preuve : On suppose que la fonction u n'est pas la fonction nulle. Montrons par récurrence que la propriété est vraie pour n entier naturel non nul.

Initialisation : Pour n = 1, (u1)' = u' = 1 × u' × u1-1

La propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n775bca58-e769-4b42-bcf7-57bc55451893

80b0b90f-4efe-4c2e-9a10-f575751d54bc

La propriété est donc vraie au rang n+1.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 1. En la supposant vraie au rang n, elle est encore vraie au rang suivant. Par conséquent, pour tout n ∈ N*, on a 775bca58-e769-4b42-bcf7-57bc55451893.

On considère maintenant que n est un entier relatif structement négatif. Il existe donc un entier naturel m non nul tel que n = -m. On a alors :

f8085595-ca89-411b-99a1-14460f2742e4

3. Dérivée de x → u(ax + b)

Propriété 5 : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, a et b deux réels et J un intervalle tel que, pour tout x ∈ J, ax + b ∈ I.

La fonction f définie sur J par 48457c2c-9e03-4a66-85a2-bac595254934 est dérivable sur J et ab766152-0fc1-4abf-b51e-d226d0751b9d

Exemple : On considère la fonction f défiie sur f566c28a-ea5c-402b-a71b-31fae892b1b6 par 2aa0eb8b-9875-407e-8601-03a016ec6eff.

La fonction u définie sur [0 ; +∞[ par 315833e2-d9d3-4e95-96ad-8ae3ee41e3ef est dérivable sur ]0 ; +∞[. Donc f est dérivable sur f566c28a-ea5c-402b-a71b-31fae892b1b6 et e5cf75ec-52e3-4b8d-ba92-a9370faa6ea5.

Preuve :

Si a = 0 : Pour tout x ∈ J, on a f(x) = f(b).

La fonction f est donc croissante et f'(x) = 0 = au'(ax + b)

Si a ≠ 0 : Pour tout h ∈ ℝ tel que a(x + h) + b ∈ J, on a :

0164de82-1d16-41ab-93d7-ce7788c75a57

Or, 858a124d-926d-4a71-8cd6-e5bad7a4a57f

Donc, 08e5f5fc-12dd-48b6-aaf4-5e0bc95f8e2f

Propriété 6 : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et g une fonction défiie et dérivable sur J telle que g(x) ∈ I pour tout x ∈ J.

La fonction 2652e9e1-a696-4af1-9c3a-569b88657f15 est dérivable sur J et 95ea9f92-c7bb-44fd-bed8-964f1e73d486 pour tout x ∈ J.

Cette propriété généralise les propriétés précédentes.

III. Tableaux récapitulatifs

Tableau récapitulatif des dérivées - Cours de Maths Bac S
Dérivation de fonctions - Cours de Maths Terminale S

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

FannyJ18
5 5 0
20/20

Bonjour, voici une vidéo de cours de Terminale S sur les dérivées :) : https://www.youtube.com/watch?v=SxN5uJ7aZTU&list=PLxWYUus9YBzX_WzkknZX2S1q56sI4mCa2&index=9

par - le 21/04/2017
bihariangel
5 5 0
20/20

Bonjour , je voudrais demander est qu'il y a un cour video pour ce cour ??

par - le 17/04/2017
EvyR
5 5 0
20/20

Vraiment très bon cour mais en effet il manque quelques exemples pour une meilleur comprehension

par - le 13/01/2015
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