Calcul Intégral - Cours Maths Bac S

Calcul Intégral - Cours Maths Bac S

Les intégrales sont des notions de mathématiques qui ont toujours été abordées en terminale Scientifique et qu'il vous faut donc maîtriser à tout prix pour l'épreuve du Bac. Notre professeur de maths vous propose donc de réviser ce cours grâce à...

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Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
Répondre aux 10 questions Voir tous les Quiz de Mathématiques

Le contenu du document

Les intégrales sont des notions de mathématiques qui ont toujours été abordées en terminale Scientifique et qu'il vous faut donc maîtriser à tout prix pour l'épreuve du Bac. Notre professeur de maths vous propose donc de réviser ce cours grâce à sa fiche de synthèse !

Intégrale d'une fonction continue positive

Définition 1 : Dans un repère orthogonal du plan (O, I, J), on appelle unité d'aire, notée u.a., l'aire du rectangle OIJK.

Définition d'une unité d'aire - Cours de maths sur l'intégration Terminale ES

Définition 2 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. On appelle intégrale de la fonction fsur l'intervalle [a;b] l'aire, exprimée de unités d'aire, de la surface comprise entre : 

  • l'axe des abscisses
  • la courbe Cf représentant la fonction f
  • les droites d'équations x = a et x = b

On la note  qui se lit "Intégrale de a à b de f(x)dx"

Remarques :

  • l'intégrale d'une fonction positive entre a et b, avec a < b, est toujours positive puisqu'il s'agit d'une aire
  • Dans l'écriture de l'intégrale, la variable x peut être remplacée par n'importe quelle autre lettre

 

Exemple : On souhaite calculer :

Il s'agit de calculer l'aire d'un triangle rectangle. Par conséquent : 

Intégration - Cours de maths gratuit Terminale ES

Propriété 1 : Soient k un réel strictement positif et f une fonction définie sur un intervalle [a;b] par f(x) = k. Alors : 

Preuve :

Il s'agit de calculer l'aire d'un rectangle de longueur b - a et de largeur k.

Exemple : 

 

Primitives

Théorème 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. On appelle F la fonction définie sur [a;b] par :

La fonction F est dérivable sur [a;b] et pour tout x ∊ [a;b] on a F'(x) = f(x)

Remarques :

 

Définition 3 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F' = f

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 4x3 - 2

Une primitive de f est la fonction F définie sur R par F(x) = x4 - 2x

 

Propriété 2 : Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive.

 

Propriété 3 : Soit f une fonction continue sur un intervalle IF et G sont des primitives de f sur I si, et seulement si, il existe k ∊ R tel que G(x) = F(x) + k pour tout x ∊ I.

Exemple : Les fonctions F et G définies sur R par F(x) = x² et G(x) = x² + 5 sont deux primitives de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x

Preuve : Soient F et G deux primitives de f sur I. On définir la fonction H sur par H(x) = G(x) - F(x)

H est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables.

On a H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0

La fonction H est donc constante sur I.

Il existe par conséquent un réel k tel que F(x) = G(x) + k pour tout x ∊ I.

Réciproquement, soient un réel k et G la fonction définie sur R par G(x) = F(x) + k

G est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I.

G'(x) = f'(x) = f(x)

Donc G est une primitive de f sur I.

 

Propriété 4 : Soient f une fonction continue sur un intervalle I, x0 un réel de I et y0 un réel quelconque. f possède une unique primitive F sur I telle sur F(x0) = y0

La fonction F représentée en noire est la seule primitive de f s'annulant en 1.

Preuve : f possède une primitive G sur I.

On pose k = y0 - G(x0). Alors la fonction F définie sur I par F(x) = G(x) + k est une primitive de f et F(x0) = G(x0) + ky0

Soient et G deux primitives de f sur I telles que F(x0) = G(x0)

Il existe un réel k tel que F(x) = G(x) + k sur I

En particuluer F(x0) = G(x0) + k donc k = 0

Il y a donc bien unicité de la primitive de f prenant la valeur y0 en x0

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 3x² - 4

On recherche la primitive de f s'annulant pour x = 1

Les primitives de f dont les fonctions F définies par F(x) = x3 - 4x + k avec k ∊ R

On recherche la valeur de k telle que F(1) = 1 - 4 + k = 0 donc k = 3

 

Propriété 5 : Si F et G sont des primitives des fonctions continues f et g sur un intervalle I, alors F + G est une primitive de f + g

 

Propriété 6 (Primitives usuelles) : 

Tableau primitives courantes - Cours de maths sur l'intégration Terminale ES

Exemple : Une primitive de f définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x² + 1/x est F définie sur ]0;+∞[ par : 

 

Propriété 7 :

 

Intégrale d'une fonction continue

Définition 4 : Soient f une fonction continue de signe quelconque définie sur un intervalle [a;b] et F une primitive de fsur [a;b]

Remarque : Le calcul de l'intégrale ne dépend pas du choix de la primitive.

 

Propriété 8 (Opérations) : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et ab et c trois réels de I.

 

Preuve :

 

Propriété 9 : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux réels de I.

 

Preuve : 

1. F + G est une primitive de f + g. Par conséquent : 

2. Si f(x) ≤ g(x) sur [a;b] alors g(x) - f(x) ≥ 0 donc :

 

Propriété 10 : Si f et g dont deux fonctions continues et positives sur [a;b] telles que f(x) ≤ g(x) alors l'aire, en unités d'aire, comprise entre les deux courbes représentatives des fonctions f et g et les droites d'équations x = a et x = b est égale à :

 

Définition 5 : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a;b] le nombre M défini par : 

Valeur moyenne d'une fonction - Cours de maths gratuit sur l'intégration Terminale ES

Exemple : On considère la fonction f définie sur R par 3x² + 1

La valeur moyenne de f sur [0;2] est : 

Exemple de calcul de la valeur moyenne d'une fonction - Cours de maths gratuit Terminale ES

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Les avis sur ce document

Lisabrde
5 5 0
20/20

Bonjour je voulais préciser qu'il y avait une faute dans la primite de 1/racine de x vous avez mis que la primitive est 1/2 * racine de x alors que c'est 2 * racine de x

par - le 12/06/2016

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