Calcul Intégral - Cours Maths Bac S

Calcul Intégral - Cours Maths Bac S

Les intégrales sont des notions de mathématiques qui ont toujours été abordées en terminale Scientifique et qu'il vous faut donc maîtriser à tout prix pour l'épreuve du Bac. Notre professeur de maths vous propose donc de réviser ce cours grâce à...

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Les intégrales sont des notions de mathématiques qui ont toujours été abordées en terminale Scientifique et qu'il vous faut donc maîtriser à tout prix pour l'épreuve du Bac. Notre professeur de maths vous propose donc de réviser ce cours grâce à sa fiche de synthèse !

Intégrale d'une fonction continue positive

Définition 1 : Dans un repère orthogonal du plan (O, I, J), on appelle unité d'aire, notée u.a., l'aire du rectangle OIJK.

Définition d'une unité d'aire - Cours de maths sur l'intégration Terminale ES

Définition 2 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. On appelle intégrale de la fonction fsur l'intervalle [a;b] l'aire, exprimée de unités d'aire, de la surface comprise entre : 

  • l'axe des abscisses
  • la courbe Cf représentant la fonction f
  • les droites d'équations x = a et x = b

On la note  qui se lit "Intégrale de a à b de f(x)dx"

Remarques :

  • l'intégrale d'une fonction positive entre a et b, avec a < b, est toujours positive puisqu'il s'agit d'une aire
  • Dans l'écriture de l'intégrale, la variable x peut être remplacée par n'importe quelle autre lettre

 

Exemple : On souhaite calculer :

Il s'agit de calculer l'aire d'un triangle rectangle. Par conséquent : 

Intégration - Cours de maths gratuit Terminale ES

Propriété 1 : Soient k un réel strictement positif et f une fonction définie sur un intervalle [a;b] par f(x) = k. Alors : 

Preuve :

Il s'agit de calculer l'aire d'un rectangle de longueur b - a et de largeur k.

Exemple : 

 

Primitives

Théorème 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. On appelle F la fonction définie sur [a;b] par :

La fonction F est dérivable sur [a;b] et pour tout x ∊ [a;b] on a F'(x) = f(x)

Remarques :

 

Définition 3 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F' = f

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 4x3 - 2

Une primitive de f est la fonction F définie sur R par F(x) = x4 - 2x

 

Propriété 2 : Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive.

 

Propriété 3 : Soit f une fonction continue sur un intervalle IF et G sont des primitives de f sur I si, et seulement si, il existe k ∊ R tel que G(x) = F(x) + k pour tout x ∊ I.

Exemple : Les fonctions F et G définies sur R par F(x) = x² et G(x) = x² + 5 sont deux primitives de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x

Preuve : Soient F et G deux primitives de f sur I. On définir la fonction H sur par H(x) = G(x) - F(x)

H est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables.

On a H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0

La fonction H est donc constante sur I.

Il existe par conséquent un réel k tel que F(x) = G(x) + k pour tout x ∊ I.

Réciproquement, soient un réel k et G la fonction définie sur R par G(x) = F(x) + k

G est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I.

G'(x) = f'(x) = f(x)

Donc G est une primitive de f sur I.

 

Propriété 4 : Soient f une fonction continue sur un intervalle I, x0 un réel de I et y0 un réel quelconque. f possède une unique primitive F sur I telle sur F(x0) = y0

La fonction F représentée en noire est la seule primitive de f s'annulant en 1.

Preuve : f possède une primitive G sur I.

On pose k = y0 - G(x0). Alors la fonction F définie sur I par F(x) = G(x) + k est une primitive de f et F(x0) = G(x0) + ky0

Soient et G deux primitives de f sur I telles que F(x0) = G(x0)

Il existe un réel k tel que F(x) = G(x) + k sur I

En particuluer F(x0) = G(x0) + k donc k = 0

Il y a donc bien unicité de la primitive de f prenant la valeur y0 en x0

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 3x² - 4

On recherche la primitive de f s'annulant pour x = 1

Les primitives de f dont les fonctions F définies par F(x) = x3 - 4x + k avec k ∊ R

On recherche la valeur de k telle que F(1) = 1 - 4 + k = 0 donc k = 3

 

Propriété 5 : Si F et G sont des primitives des fonctions continues f et g sur un intervalle I, alors F + G est une primitive de f + g

 

Propriété 6 (Primitives usuelles) : 

Tableau primitives courantes - Cours de maths sur l'intégration Terminale ES

Exemple : Une primitive de f définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x² + 1/x est F définie sur ]0;+∞[ par : 

 

Propriété 7 :

 

Intégrale d'une fonction continue

Définition 4 : Soient f une fonction continue de signe quelconque définie sur un intervalle [a;b] et F une primitive de fsur [a;b]

Remarque : Le calcul de l'intégrale ne dépend pas du choix de la primitive.

 

Propriété 8 (Opérations) : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et ab et c trois réels de I.

 

Preuve :

 

Propriété 9 : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux réels de I.

 

Preuve : 

1. F + G est une primitive de f + g. Par conséquent : 

2. Si f(x) ≤ g(x) sur [a;b] alors g(x) - f(x) ≥ 0 donc :

 

Propriété 10 : Si f et g dont deux fonctions continues et positives sur [a;b] telles que f(x) ≤ g(x) alors l'aire, en unités d'aire, comprise entre les deux courbes représentatives des fonctions f et g et les droites d'équations x = a et x = b est égale à :

 

Définition 5 : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a;b] le nombre M défini par : 

Valeur moyenne d'une fonction - Cours de maths gratuit sur l'intégration Terminale ES

Exemple : On considère la fonction f définie sur R par 3x² + 1

La valeur moyenne de f sur [0;2] est : 

Exemple de calcul de la valeur moyenne d'une fonction - Cours de maths gratuit Terminale ES

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Les avis sur ce document

Lisabrde
5 5 0
20/20

Bonjour je voulais préciser qu'il y avait une faute dans la primite de 1/racine de x vous avez mis que la primitive est 1/2 * racine de x alors que c'est 2 * racine de x

par - le 12/06/2016

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