exercice : étude de la fonction exponentielle (et ln)

Je suis nouvelle sur ce site, et je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'aider à faire cet exercice ou bien juste m'expliquer ce qu'il faut faire. Merci d'avance pour votre aide Smile

donc mon exercice est le suivant :

L'objet de cet exercice est d'étudier la fonction f(x) = e^-1*ln(1+e^x), où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. Étude aux bornes

a) Rappeler la définition de la dérivabilité de la fonction ln en a = 1;
en déduire que la limite de ln(1+h)/h = 1 lorsque h tend vers 0.

b) Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers -∞ ( on pourra utiliser le résultat de la question précédente.)

c) Monter que, pour tout réel x, f(x)= xe^-x+e^-x*ln(1+e^-x)
En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +∞.
Quelle est la conséquence graphique de ce résultat?

2. Étude d'une fonction auxiliaire g définie sur [0;+∞[ par :
g(t) = t/1+t -ln(1+t)

a) Déterminer la dérivée g' de la fonction g.
b) Donner le sens de variations de g puis déterminer son signe.

3. Variations: Soit f' la dérivée de la fonction f

a) Montrer que, pour tout réel x, f' (x) = e^-1[ e^x/1+e^x - ln(1+ e^x)].

b) En utilisant le résultat du 2° étudier le sens de variation de la fonction f.

c) Dresser le tableau de variation de la fonction f complété avec ses limites.

voila je vous remercie encore Razz

06 Mars 2010 à 22:42

bon je vois que personne ne peux m'aider ou m'expliquer donc comme ce devoir maison est pour lundi je vais essayer de le comprendre seule!