TRIER PAR
MATIÈRE

Primitives et intégrale - Fiche Bac Maths

Introduction

Primitives et intégrale sont des notions capitales du programme de terminale S. Pour faire des calculs d'intégrale, mieux vaut bien connaître les primitives usuelles de certaines fonctions. Vous pourrez également avoir recours à l'intégration par partie. Cette fiche recense également les formules d'aire et de volume de figures classiques.

1. Qu'est-ce-qu'une primitive ?

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle J.
La fonction F est une primitive de la fonction f sur J, si pour tout x∈J,F^' (x)=f(x) ; à condition bien sûr que F soit dérivable sur J.

Si f admet une primitive F sur un intervalle J, elle en admet une infinité G telles que pour tout x de J : G(x)=F(x)+C avec C∈R. On dit que la primitive est définie à une constante près.

Exemple : f(x)=2x
f admet pour primitive sur ℝ, la fonction F définie par F(x)= x². F(x)= x²+3 est aussi une primitive de f.

Une fonction dérivable sur I admet des primitives sur I.

Théorème d'unicité : Si f est dérivable sur I, f admet une unique primitive sur I, prenant la valeur b donnée en a ; aEI.

2. Quelques primitives usuelles

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

3. Théorème des inégalités des accroissements finis

Soit une fonction f continue sur un intervalle [a,b].

Le nombre M est un majorant de f sur [a,b], F une primitive de f sur[a,b].

Pour tout x de [a,b], |F(x)-F(a)|≤ |x-a|×M

4. Opérations courantes sur les fonctions et les primitives

Les opérations suivantes se retrouveront facilement si vous connaissez bien les dérivées des fonctions usuelles (ou de combinaisons de fonctions usuelles).

Soient u, v, u' et v', 4 fonctions définies et dérivables sur I.

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

5. De la notion de primitive à celle d'intégrale

Si F est une primitive de f sur J, a∈J et b∈J, le réel F(b) -F(a) ne dépend pas du choix de la primitive de f.

En effet, s'il existe une autre primitive G de la fonction f sur J, alors il existe c∈R tel que
pour tout x ∈J, G(x) = F(x) + c. G(b) - G(a) = F(b) + c - (F(a) + c) = F(b) - F(a)

6. Quelle est la définition d'une intégrale ?

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

7. Quelles sont les propriétés algébriques de l'intégrale ?

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

8. Quelles sont les propriétés des intégrales liées aux caractéristiques des fonctions ?

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

9. Autres propriétés concernant les intégrales et les inégalités

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

10. Qu'est-ce-qu'une intégration par parties ?

Lorsque vous avez un calcul d'intégrale à effectuer comprenant une fonction relativement complexe à calculer, vous devez penser à l'intégration par parties (ou IPP). Pour cela, vous devez identifier deux fonctions u et v' plus « simples » ayant respectivement une dérivée u' et une primitive v, faciles à calculer.

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

11. Calcul de l'aire d'une figure à partir d'une intégrale

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

12. Aires des figures usuelles

(Télécharger gratuitement le document pour voir les formules et les exemples)

Conclusion

Les calculs d'aire et de volume sont moins fréquents dans les exercices de mathématiques de terminale que les calculs d'intégrale. Essayez donc de bien maîtriser les propriétés et les modes de calcul d'intégrale !

Aperçu du document

Le document Primitives et intégrale - Fiche Bac Maths, bac de Mathématiques . N'hésitez pas à partager Primitives et intégrale - Fiche Bac Maths à vos amis sur facebook

Document suivant ››
Etude d'une fonction - Fiche Bac Maths

‹‹ Document précédent
Fonctions logarithmes, exponentielle et puissance - Fiche Bac Maths