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Limites de Fonctions (Chapitre1) - Fiche Terminale Maths Bac S

Soit x_0 un réel.Ce document est un résumé du premier chapitre de Maths de Terminale S. Cette fiche concerne Les limites de fonctions au Bac S, avec le résumé de toutes les formules, théorèmes et démonstrations pour vous aider à mieux réviser et mieux comprendre les maths en terminale S.

Retrouvez ci-dessous tous les points importants de cette fiche de révision sur les Limites de fonctions. 

I. Limites en + l'infini ou en - l'infini

Soit f une fonction définie pour de grandes valeurs de x.

1.1 Limite finie

L'interprétation graphique de cette limite finie en l'infini est la suivante : on dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à la courbe. La position de la courbe (C) par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de f(x)-l

1.2 Limite infinie

On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ lorsque tout intervalle [A;+∞┤[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand.
On note : lim(x→+∞) f(x)=+∞ ou lim(+∞) f=+∞.

Par exemple, on a :

lim(x→+∞) x^2=+∞
lim(x→+∞) √x=+∞
lim(x→-∞) x^3=-∞

On peut établir la remarque suivante : si f(x) peut s'écrire sous la forme a*x+b+g(x) avec lim(x→+∞) g(x)=0 ou lim(x→-∞) g(x)=0, alors la droite d'équation y=a*x+b est appelée asymptote oblique à la courbe.

De même que précédemment, la position de la courbe (C) par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de f(x)-(a*x+b) 

si f(x)-(a*x+b)≥0, alors (C) est au-dessus de l'asymptote ;
si f(x)-(a*x+b)≤0, alors (C) est en-dessous de l'asymptote.

II. Limites en un réel

Soit x_0 un réel.

2.1 Limite infinie

On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers x_0 lorsque tout intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x_0.
On note : lim(x→x_0 ) f(x)=+∞ ou lim(x_0 ) f=+∞.

Par exemple, on a :

lim(x→5) 1/(x-5)^2 =+∞
lim(x→5^+ ) 1/(x-5)=+∞
lim(x→5^- ) 1/(x-5)=-∞

Concernant l'interprétation graphique de cette limite infinie en un réel, si lim(x_0 ) f=+∞ ou lim(x_0 ) f=-∞, alors la courbe (C) admet une asymptote verticale d'équation x=x_0 (ou seulement une limite à droite ou à gauche).

2.2 Limite finie

Soit l un réel. On dit que f(x) tend vers l quand x tend vers x_0 lorsque tout intervalle contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x_0.
On note : lim(x→x_0 ) f(x)=l ou lim(x_0 ) f=l.

Par exemple, on a :

lim(x→2) 2*x=4
lim(x→0) (x+3)/(x+5)=3/5

On peut établir la remarque suivante : si f est une fonction usuelle et si x_0 appartient à l'ensemble de définition de f, alors la limite en x_0 de f est égale à f(x_0). On a ainsi l'égalité suivante : lim┬(x→x_0 )⁡

f(x)=f(x_0).

III. Opérations sur les limites

3.1 Règles de calcul

Voici les différentes règles de calcul lorsque l'on effectue des opérations sur les limites qu'il faut savoir :

- limite d'une somme de deux fonctions :

- limite d'une différence de deux fonctions :
On utilise la relation f-g=f+(-g) et le tableau d'une somme.

- limite d'un produit de deux fonctions

- limite de l'inverse d'une fonction

- limite d'un quotient de deux fonctions

3.2 Fonctions polynômes, fonctions rationelles

De manière générale, la limite en ±∞ d'une fonction polynôme est celle de son monôme de plus haut degré.

Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes. Donc la limite en ±∞ d'une fonction rationnelle est celle du rapport des termes de plus hauts degrés.

3.3 Limites et composées de fonctions

On suppose que le théorème suivant est admis (nous n'en ferons pas une démonstration). Si on a lim(x→a) f(x)=b et si lim(x→b)g(x)=c, alors on peut dire que lim(x→a)(g∘f)(x) c.

IV. Limites et comparaison de fonctions

4.1 Théorèmes des gendarmes

Soient u, v et w trois fonctions définies pour de grandes valeurs de x. Soit l un réel.
Si on a lim(+∞)u=l = lim(+∞)v et si pour x assez grand u(x)≤w(x)≤v(x), alors on peut dire que lim(+∞)w=l.

On peut établir la remarque suivante : le théorème reste valable si on remplace +∞ par -∞ ou par un réel x_0.

4.2 Limites et inégalités

Nous avons le théorème suivant, décomposé en deux énoncés :

- Si lim(x→+∞)g(x)=+∞ et si, pour x assez grand, f(x)≥g(x), alors on peut en déduire que lim(x→+∞)f(x)=+∞.

- Si lim(x→+∞)g(x)=-∞ et si, pour x assez grand, f(x)≤g(x), alors on peut en déduire que lim┬(x→+∞)f(x)=-∞.

Bien entendu, les limites en +∞ de ce théorème peuvent être remplacées sans problème par les limites -∞ ou un réel x_0. Le théorème est toujours valable.

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