Limite d'une suite en Maths - Epreuve au Bac

Ce document est une fiche de révision du programme de Maths de première S sur les limites d'une droite. 

 

Etudier la convergence d'une suite, c'est étudier ce que devient U_n lorsque n devient de plus en plus grand donc quand n tend vers +∞.

U_n désigne une suite et l un nombre réel. La suite (U_n) converge vers l si tout intervalle ouvert contenant l contient aussi tous les termes de la suite (U_n) à partir d'un certain rang p.

l est alors la limite de la suite (U_n) et on note lim┬(n→ +∞)U_n = l ou lim┬U_n = l

 

Une suite non convergente est dite divergente : il y a deux cas possibles, soit elle admet une limite infinie (la suite (U_n) diverge vers +∞ ou -∞ noté lim┬(n→ +∞)U_n= +∞ ou -∞) soit elle n'a pas de limite.

lim┬(n→ +∞)1/n= 0
lim┬(n→ +∞)1/n² = 0
lim┬(n→ +∞)1/(√n)= 0

 

(U_n) et (V_n) sont deux suites qui convergent vers l et l' :

La suite (U_n + V_n) converge vers l + l'
La suite (U_n * V_n) converge vers l * l'
V_n est différent de 0 pour tout n et si l' est différent de 0 alors (U_n/V_n ) converge vers l/l'

 

Soit f une fonction définie sur un intervalle [A ; +∞[ et (U_n) la suite définie par U_n = f(n). Si lim┬(x→ +∞)f(x) = l alors lim┬(n→ +∞)U_n = l

 

Théorème des gendarmes : Soit (U_n), (V_n) et (W_n) trois suites telles qu'à partir d'un certain rang on ait U_n < V_n < W_n et lim ┬(n→ +∞) U_n = lim ┬(n→ +∞) W_n = l alors lim ┬(n→ +∞)V_n = l

 

La suite (U_n) a pour limite +∞ pour tout intervalle [A ; +∞[ qui contient tous les termes de la suite (U_n) à partir d'un certain rang.

On dit que la suite (U_n) diverge vers +∞ noté lim ┬(n→ + ∞ )U_n= +∞

La suite (U_n) a pour limite -∞ pour tout intervalle ]- ∞ ; A] qui contient tous les termes de la suite (U_n) à partir d'un certain rang.

On dit que la suite (U_n) diverge vers -∞ noté lim ┬(n→ + ∞ )U_n= -∞

lim ┬(n→ +∞)n= +∞
lim ┬(n→ +∞) n² = +∞
lim ┬(n→ +∞) √n = +∞

 

Soit (U_n) et (V_n) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang on ait U_n < V_n et lim ┬(n→ + ∞ )V_n = -∞ alors, lim ┬(n→ + ∞ )U_n = -∞

 

Soit (U_n) et (V_n) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang on ait U_n > V_n et lim ┬(n→ + ∞ )V_n = +∞ alors, 〖lim〗┬(n→ + ∞ )U_n = +∞

Si q est un nombre réel alors :
* Si q > 1, alors lim ┬(n→ +∞)q^n = +∞
* Si -1 < q < 1 alors lim ┬(n→ +∞) q^n = 0
* Si q < 1 alors la suite (q^n) n'a pas de limite, elle diverge
* Si q = 1, alors lim ┬(n→ +∞)q^n = 1

Exemple :

(U_n) est une suite géométrique de raison q = 3 et U_0 = 5.

U_n = q^n * U_0
U_n = 3^n * 5

q > 1, alors lim┬(n→ +∞)3^n= +∞

lim┬(n→ +∞)3^n*5 = +∞

lim┬(n→ +∞) U_n = +∞

La suite (U_n) diverge vers +∞