Le produit scalaire - Maths Bac S

Ce document est une fiche de révision du programme de Maths de première S sur le produit scalaire. 

On cherche le côté BC.

BC² = HC² + HB²
BC² = (AC² - AH²) + (AB - AH)²
BC² = AC ² - AH² + AB² - 2*AB*AH + AH²
BC² = AC² + AB² -2*AB*AH

Or, cos A = AH/AC donc le côté AH = cos A * AC

BC² = AC² + AB² -2*AB*AC*cos A       produit scalaire

• On appelle produit scalaire de deux vecteurs u ⃗ et v ⃗, le réel noté u ⃗ . v ⃗

Deux égalités permettent de définir le produit scalaire :

Produit scalaire : u ⃗ . v ⃗ = ||u ⃗|| * ||v ⃗|| * cos (u ⃗ ; v ⃗)

Ou u ⃗ . v ⃗ = AB * AH si (AB) ⃗ et (AH) ⃗ sont de même sens.
Ou u ⃗ . v ⃗ = -AB * AH si (AB) ⃗ et (AH) ⃗ sont de sens contraire.

• Si u ⃗ et v ⃗ sont colinéaires et de même sens, alors (u ⃗ ; v ⃗) = 0 et cos (u ⃗ ; v ⃗) = 1
  Alors u ⃗ . v ⃗ = ||u ⃗|| x ||v ⃗||
  
• Si u ⃗ et v ⃗ sont colinéaires et de sens contraire, alors (u ⃗ ; v ⃗) = ∏ et cos (u ⃗ ; v ⃗) = -1
  Alors u ⃗ . v ⃗ = -||u ⃗|| x ||v ⃗||

• Figure clé 1 : 

1/ Si 0 < Angle < 90°, alors le cosinus de cet angle est positif donc le signe du produit scalaire ne peut être que positif.

2/ Si Angle = 90° (les vecteurs sont orthogonaux), alors le cosinus de cet angle est égal à 0 et le produit scalaire ne peut être que nul.

3/ Si 90° < Angle < 180°, alors le cosinus de cet angle est inférieur à 0 et le produit scalaire ne peut être que négatif.

•  Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on peut indiquer H qui est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

• u ⃗ ² = u ⃗ . u ⃗ = ||u ⃗|| * ||u ⃗| | = ||u ⃗||²

C'est ce qu'on appelle le carré scalaire de u ⃗.

C'est comme si l'on faisait ||u ⃗|| * ||u ⃗|| * cos (u ⃗ ; u ⃗)
Or, (u ⃗ ; u ⃗) = 0 donc cos (u ⃗ ; u ⃗) = 1 soit ||u ⃗|| * ||u ⃗||.

Soit u ⃗, v ⃗ et w ⃗ trois vecteurs du plan et k un réel, on a :

1/ u ⃗ . v ⃗ = v ⃗ . u ⃗

2/ (k u ⃗) . v ⃗ = k (u ⃗ . v ⃗)

3/ u ⃗ . (v ⃗ + w ⃗) = u ⃗ . v ⃗ + u ⃗ . w ⃗

En conséquence, (a u ⃗) . (b v ⃗) = ab x (u ⃗ . v ⃗) et on peut retrouver des produits scalaires remarquables.

1/ (u ⃗ + v ⃗) ² = u ⃗ ² + 2 u ⃗ . v ⃗ + v ⃗ ²

2/ (u ⃗ - v ⃗) ² = u ⃗ ² - 2 u ⃗ . v ⃗ + v ⃗ ²

3/ (u ⃗ + v ⃗) . (u ⃗ - v ⃗) = u ⃗ ² - v ⃗ ²

• (u ⃗ + v ⃗) ² = u ⃗ ² + 2 u ⃗ . v ⃗ + v ⃗ ²

||u ⃗ + v ⃗|| ² = ||u ⃗||² + 2 (u ⃗ . v ⃗) + ||v ⃗||²
2 (u ⃗ . v ⃗) = ||u ⃗ + v ⃗|| ² - ||u ⃗||² - ||v ⃗||²

(u ⃗ . v ⃗) = 1/2 (||u ⃗ + v ⃗|| ² - ||u ⃗||² - ||v ⃗||²)

• Si u ⃗ est un vecteur non nul et v ⃗ un vecteur quelconque alors le projeté orthogonal de v ⃗ sur u ⃗ est (u ⃗ .v ⃗)/(||u ⃗||²) u ⃗

Soit (v') ⃗ le projeté orthogonal de v ⃗ sur u ⃗ alors (v') ⃗ = k u ⃗ (les vecteurs colinéaires)

u ⃗ . v ⃗ = u ⃗ . (v') ⃗ = u ⃗ . k u ⃗ = k ||u ⃗||²

Donc k est bien égal à (u ⃗ .v ⃗)/(||u ⃗||²)

• u ⃗ et v ⃗ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul

Si le produit scalaire de u ⃗ et v ⃗ est nul, alors u ⃗ et v ⃗ sont orthogonaux

Un vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan

• Un couple de vecteurs (i ⃗ ; j ⃗) tel que ||i ⃗|| = 1 et ||j ⃗|| = 1 et i ⃗ . j ⃗ = 0 est appelé une base orthonormale

• Soit u ⃗ et v ⃗ deux vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y') dans une base orthonormale alors u ⃗ . v ⃗ = xx' + yy'

• Dans une base orthogonale, deux vecteurs u ⃗ (x ; y) et v ⃗ (x' ; y') sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0

C'est faux si l'on est dans un repère quelconque.