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La Continuité (Chapitre 5) - Fiche Maths Terminale Bac S

Ce document est une fiche de révision sur le chapitre 4 du programme de Maths de Terminale S sur la continuité. Afin de vous aider du mieux possible dans vos révisions de Maths pour le Bac scientifique, cette fiche sur la continuité résume toutes les formules, les théorèmes et vous permet de vous exercer avec des exemples et des applications. Télécharger des fiches de révisions gratuites pour le Bac S permet aussi de prendre de l'avance dans ses révisions pour réussir le jour de l'examen !

Ci-dessous, retrouvez la liste des points importants présent dans cette fiche de révision du Bac S. 

1. Fonctions continues

1.1 Définition 1

On a la première définition suivante : soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit x_0 un élément de I. On dit que f est continue en x_0 si et seulement si lim (x→x_0 ) f(x) = f(x_0).On a la première définition suivante : soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit x_0 un élément de I. On dit que f est continue en x_0 si et seulement si lim (x→x_0 ) f(x) = f(x_0).

Le contraire de « f est continue en x_0 » se dit : « f est discontinue en x_0 ».

Par exemple, la fonction f(x)=x² est continue en x_0=2 alors que la fonction partie entière inférieure de x, notée f(x)=⌊x⌋, est discontinue en chaque entier relatif.

1.2 Définition 2

Par extension de la première définition, on obtient la définition suivante : on dit que f est continue sur l'intervalle I si f est continue en tout x_0 de I.

On peut établir les remarques importantes suivantes :

• pour que f soit continue en x_0, il faut d'abord qu'elle soit définie en x_0
• graphiquement, la fonction est continue si sa courbe est obtenue « sans lever le crayon »
• les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition

1.3 Propriété

On peut admettre la propriété suivante : toute fonction obtenue par construction à partir des fonctions polynômes, trigonométriques, racine carrée ou exponentielle par addition, multiplication, division ou composition est continue sur tout intervalle où elle est définie.

2. Continuité et dérivabilité

On peut établir le théorème suivant : si f est dérivable en x_0, alors f est continue en x_0.

Démontrons ce théorème :
Si f est dérivable en x_0, alors on a :

Ainsi, on a bien démontré ce théorème.

Attention cependant : la réciproque de ce théorème est fausse !

3. Théorème de la valeur intermédiaire

3.1 Théorème de la valeur intermédiaire

On a le théorème, admis, suivant : soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I avec a < b. Alors pour tout nombre k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c)=k.

On doit noter que l'hypothèse de la continuité est indispensable pour appliquer ce théorème.

3.2 Convention

On peut établir la convention énoncée ci-après : on conviendra que les flèches placées dans un tableau de variations traduisent le sens de variation de la fonction et sa continuité

3.3 Théorème de la bijection

Nous avons maintenant un nouveau théorème : soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I. Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c dans l'intervalle [a;b] tel que f(c)=k.

3.4 Application

On souhaite maintenant appliquer ce que l'on a vu précédemment.
Montrons que l'équation suivante : x^3-3*x+1=0 admet une solution unique dans l'intervalle [0;1] :

On pose : f(x)=x^3-3*x+1
On sait que f est une fonction polynôme, donc f est continue sur R.
Nous avons les égalités suivantes : f(0)=1 et f(1)=-1.
Or, 0 appartient à l'intervalle [-1;1].
Donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;1].
Cette fonction f étant dérivable sur R, on a : f^' (x)=3*x^2-3=3*(x^2-1).
Ainsi, f^' (x)≤0 sur [0;1].
On en déduit que f est strictement décroissante sur [0;1].
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x)=0 admet une seule solution.
Cette solution c est donc bien dans l'intervalle [0;1].

Pour trouver cette solution, on utilise la méthode de la dichotomie :

On continue suivant la précision souhaitée...
On obtient ici : 0,34

3.5 Théorème complémentaire

On peut établir le théorème complémentaire suivant : si f est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle [a;b┤[, où b désigne un réel ou +∞ (raison pour laquelle elle ne peut être définie en b), alors pour tout nombre k compris entre f(a) et lim┬(x→b)⁡〖f(x)〗 l'équation f(x)=k admet une solution unique dans l'intervalle [a;b┤[.

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