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Fonction Exponentielle (Chapitre 3) Fiche Maths Term. Bac S

Ce document est une fiche de révision sur la fonction exponentielle. Dans cette fiche, retrouvez toutes les formules et théorèmes, ainsi que des explications et des exemples pour vous aider à mieux comprendre et mieux retenir les notions. Nous vous notons ci-dessous le plan de cette fiche de révision sur la fonction exponentielle.

Introduction sur la fonction exponentielle

On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction et où interviennent les dérivées successives de cette fonction. Résoudre une équation différentielle, c'est chercher toutes les fonctions qui vérifient cette équation.

Une donnée supplémentaire du type y_0=f(x_0) est appelée condition initiale. Dans ce chapitre, on va s'intéresser aux équations différentielles du type : f^' (x)=k*f(x), autrement dit : f^'=k*f.

1. Équation différentielle de la forme f'=f avec f(0)=1

1.1 Théorème 1

On peut dire que si f est une fonction dérivable sur R telle que f^'=f et f(0)=1, alors f ne s'annule pas sur R.

Démontrons ce premier théorème :

Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant f^'=f et f(0)=1.
Soit g une fonction définie sur R par g(x)=f(x)*f(-x).
On peut ainsi dire que g(0)=1 et que g est dérivable sur R.
Pour tout réel x, on a : g^' (x)=f^' (x)*f(-x)-f(x)*f^' (-x)=0 car f^'=f.
On en déduit que g est constante sur R.
Ainsi, pour tout x, on a g(x)=1.
Or, comme g(x)=f(x)*f(-x), on en déduit que f(x)*f(-x)=1.
Cette dernière égalité implique que f ne s'annule pas sur R.

1.2 Théorème 2

On peut dire qu'il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f^'=f et f(0)=1.

Démontrons ce deuxième théorème :

On considèrera l'existence admise (voir la méthode d'Euler pour plus d'infos).
Il faut maintenant montrer l'unicité.
On suppose qu'il existe deux fonctions f et g dérivables sur R telles que f^'=f, g^'=g, f(0)=1 et g(0)=1.
On considère la fonction h(x)=g(x)/f(x) .
On peut dire que h est dérivable sur R (car quotient de fonctions dérivables).
Ainsi, on a : h(0)=1 et h^' (x)=0 pour tout réel x.
On peut donc dire que h est constante sur R.
Et pour tout réel x, h(x)=1 donc g(x)/f(x) =1.
Cela implique donc que f=g.
Il y a donc bien une unique fonction et la démonstration est terminée.

1.3 Définition

On appelle fonction exponentielle l'unique fonction f définie et dérivable sur R qui vérifie f^'=f et f(0)=1. De plus, on la note exp(x).

2. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

2.1 Propriété fondamentale

Pour tous réels a et b, on a la propriété fondamentale suivante :
exp(a+b)=exp(a)*exp(b)

2.2 Conséquences

On observe ainsi plusieurs conséquences de cette propriété fondamentale :
Soient a et b deux réels. Alors on a :
exp(a-b)=exp(-b+a)=exp(a)*exp(-b)=exp(a)*1/exp(b)

Donc on en déduit :
exp(a-b)=exp(a)/exp(b)

2.3 Nouvelle notation

On a : exp(n*x)=(exp(x) )^n et pour x=1, exp(n)=(exp(1) )^n.
On va donc noter :
exp(1)=e
Avec :
e≅2,718

Soit exp(n)=e^n.
Par convention, on pose donc :
exp(x)=e^x

On obtient ainsi les propositions suivantes :

(e^x )'=e^x
e^(n*x)=(e^x )^n
e^(a+b)=e^a*e^b
e^(a-b)=e^a/e^b
e^0=1
e^1=e
e^(-x)=1/e^x
e^x>0 pour tout réel x
e^x*e^(-x)=1
√(e^x )=e^(x/2)=(e^x )^(1/2)

3. Représentation graphique

D'après tout ce qu'on a vu précédemment, on peut dire que :

exp(x) est strictement croissante sur R car sa dérivée est positive

e^a>e^b⇔a>b
e^a=e^b⇔ a=b
e^x≥1 ⇔x≥0

3.1 Limites aux bornes

Les deux bornes en question sont : +∞ et -∞.

On a la première limite suivante :
lim(x→+∞)e^x =+∞

On a la deuxième limite suivante :
lim(x→-∞)e^x =0

On peut déduire d'après cette deuxième limite que la courbe de la fonction exp(x) admet une asymptote horizontale d'équation y=0.

3.2 Equations de tangentes

On peut établir deux équations importantes :

tangente au point d'abscisse 0 :
y=f(0)+f^' (0)*(x-0)
y=x+1

tangente au point d'abscisse 1 :
y=f(1)+f^' (1)*(x-1)
y=e*x

3.3 Autres limites à connaître

Il y a quelques autres limites concernant la fonction exponentielle qu'il faut connaître :

lim(x→0)(e^x-1)/x=1

3.4 Dérivée d'une fonction avec exponentielle

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R.
Alors on peut dire que e^u est dérivable sur I et on a : (e^u )'=u^'*e^u.

Prenons quelques exemples pour illustrer les propos précédents :
f(x)=e^(3*x) implique : f^' (x)=3*e^(3*x)
g(x)=e^(x^2-5*x+1) implique : g^' (x)=(2*x-5)*e^(x^2-5*x+1)
h(x)=e^(1/x) implique : h^' (x)=-1/x^2 *e^(1/x)

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