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Etude d'une fonction - Fiche Bac Maths

Introduction

L'étude d'une fonction est un exercice incontournable en Terminale S. Pour vous préparer le plus efficacement possible, cette fiche récapitule le plan d'étude d'une fonction avec les questions classiques, envisageables. Puis, pas à pas, la résolution de ces questions sera détaillée.

1. Plan d'étude d'une fonction f

Donner l'ensemble de définition D de la fonction f

• La fonction f, est-elle paire, impaire ou périodique ?

• Quelles sont les limites aux bornes de l'ensemble de définition ? La courbe représentative de la fonction f, admet-elle des asymptotes ?

• Etudier la dérivabilité de f et calculer la dérivée f'.

• Quel est le signe de f' ? Quelles sont les variations de f et de f' ?

• Dresser le tableau de variations de la fonction f.

• Etudier des droites et/ou points particuliers (tangentes, axe et centre de symétrie éventuels).

• Faire une représentation graphique de la courbe représentative de la fonction f, Cf.

• Qu'est-ce-que recouvre l'ensemble de définition D ?
On dit qu'une fonction f est définie sur un ensemble D si et seulement si pour tout x de D, f(x) existe.

2. Parité et périodicité

Comment démontrer qu'une fonction f est paire ?

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Conséquence : Si f est paire, dans le repère orthogonal (Oj) est alors axe de symétrie.
L'intervalle d'étude de la fonction f devient

Comment démontrer qu'une fonction f est impaire ?

Conséquence : Si f est impaire, dans un repère orthonormé, O est alors centre de symétrie.
L'intervalle d'étude de la fonction f devient

Comment démontrer qu'une fonction f est périodique ?

Soit P un réel positif, non nul.

Conséquence : Le domaine d'étude de la fonction f devient . La courbe C représentative de la fonction f est obtenue par la translation de vecteur kPī, k étant un entier relatif.

3. Limites et asymptotes de la fonction f

Si vous avez des difficultés sur la question de détermination des limites, référez-vous à la fiche sur les limites. Néanmoins, il faut savoir identifier les branches infinies ou asymptotes.

Ce sont les droites vers lesquelles la courbe représentative C se rapproche, lorsque x et/ou y tend vers l'infini.

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4. Dérivabilité de f

Il convient d'étudier la dérivabilité de f sur son ensemble de définition le plus restreint, en tenant compte des propriétés de parité, de périodicité ou de symétrie de la fonction f.

Pour calculer la dérivée f', vous pouvez vous référer à la fiche sur la dérivabilité.

Rappel : l'ensemble de définition E de la dérivabilité de f est l'ensemble des points de D pour lesquels f, admet un nombre dérivé.

Une fois la dérivée f' calculée, quelles sont les variations de la fonction f, fonction dérivable sur un intervalle E ?

Si f'=0, alors f est constante.
Si f'>0 sauf en un nombre fini de points isolés ou f' =0, alors f est strictement croissante sur E.
Si f'<0 sauf en un nombre fini de points isolés ou f' =0, alors f est strictement décroissante sur E.
Si f est impaire, alors f varie de la même façon sur chacun des intervalles symétriques de et de .
Si f est paire, alors f a un sens opposé de variation sur chacun des intervalles symétriques de et de .

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5. Tableau de variation

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6. Etude des droites et ou points particuliers

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7. Caractéristiques graphiques de quelques fonctions usuelles

Voici un tableau récapitulatif des caractéristiques graphiques des principales fonctions usuelles.

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8. Autres questions liées à l'étude d'une fonction

Comment montrer que f est majorée ou minorée ?

La fonction f est majorée par M sur J, si, quel que soit x de J, f(x) < ou = M
La fonction f est minorée par m sur J, si quel que soit x de J, f(x) > ou = m

On dit que la fonction f est bornée sur J si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire, s'il existe 2 réels m et M tels que m < ou = f(x) < ou = M ; ce qui équivaut à montrer que |f(x)| < ou = M

Conclusion

Cette fiche vous donne les notions essentielles à connaître pour l'étude d'une fonction. Il convient de les maîtriser.

Dans la résolution d'un tel exercice, il faut néanmoins toujours faire preuve de logique et de rigueur.

Pour l'étude d'une fonction, les questions s'enchaînent, en étroite dépendance les unes des autres : soyez donc vigilants ! Ne brûlez aucune étape !

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