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Divisibilité et Division Euclidienne - Chapitre1 Fiche Maths Bac S

Ce document est une fiche de révision pour l'Option Maths du Bac S. Il s'agit du chapitre 1 du pogramme de Terminale S qui s'intéresse à la Divisibilité et aux divisions Euclidienne. Si vous avez choisi l'option mathématiques en première et en terminale, le coefficient de cette matière est très important. C'est pourquoi il est nécessaire de réussir du mieux possible le jour de l'examen de Maths.

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Dans les propos qui vont suivre, N désigne l'ensemble des entiers naturels, et Z désigne l'ensemble des entiers relatifs.

I. Divisibilité

A) Définitions

Soient a et b deux entiers relatifs (avec a≠0).

On dit que b est un multiplie de a s'il existe un entier relatif n tel que : b=a*n.
De plus, « b multiplie a » équivaut à :

« a divise b »
« a est un diviseur de b »

Le chiffre 0 n'a pas de multiple.

On note :

aZ l'ensemble des multiples de a
3Z={...,-6,-3,0,3,6,9,...}
1Z= Z
aZ= -aZ (car a et -a ont les mêmes multiples)

La formulation « a divise b » se note : a | b.

Par exemple, la liste des diviseurs de 45 est :

dans N : 1, 3, 5, 9, 15, 45
dans Z : les mêmes que dans N ainsi que leurs opposés

Enigme :

2008! est-il divisible par 2009 ?

Solution :

2009=7*287=7*7*41=49*41
2008!=2008*2007*...*49*...*41*...*2*1
Donc 2008! est divisible par 2009.

B) Propriétés

Propriété 1 : Si b et c sont des multiples de a, alors b+c est aussi un multiple de a. Autre énonciation possible : si a divise b et si a divise c, alors a divise b+c.

Démonstration :

a|b donc il existe un entier n1 tel que b=n_1*a
a|c donc il existe un entier n2 tel que c=n_2*a
alors : b+c=n_1*a+n_2*a, d'où : b+c= 〖(n〗_1+n_2) *a
donc b+c est un multiple de a

Propriété 2 : Si b est un multiple de a et si c n'est pas un multiple de a, alors b+c n'est pas un multiple de a.

Démonstration :

on utilise un raisonnement par l'absurde en supposant que b+c est un multiple de a
or, -b est un multiple de a (car b multiple de a par hypothèse)
d'après la propriété 1, c=b+c-b est un multiple de a
c'est donc contraire à l'hypothèse, donc b+c n'est pas un multiple de a

Propriété 3 : Si b est un multiple de a et si a est un multiple de b, alors b = a ou b = -a.

Démonstration :

a|b donc il existe un entier n1 tel que b=n_1*a
b|a donc il existe un entier n2 tel que a=n_2*b
alors : b=n_1*n_2*b
c'est-à-dire : n_1*n_2=1
d'où : n_1=n_2=1 ou n_1=n_2=-1
donc b=a ou b=-a.

Propriété 4 : Si b est un multiple de a et si c est un multiple de b, alors c est un multiple de a.

Démonstration :

a|b donc il existe un entier n1 tel que b=n_1*a
b|c donc il existe un entier n2 tel que c=n_2*b
alors : c=n_1*n_2*a
donc a|c, c'est-à-dire que c est un multiple de a

II. Division Euclidienne

A) Théorème

Soit a un entier relatif et b un entier naturel non-nul. Il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r (avec 0≤r

Démonstration :

1. Existence : a appartient à Z, il y a deux cas possibles :

a est un multiple de b donc :

a=b*q
dans ce cas c'est vérifié avec r=0

a n'est pas un multiple de b donc :

b*q b*q a=b*q+r
c'est également vérifié avec r

2. Unicité : on suppose a=b*q+r=b*q^'+r' avec 0≤r 0≤r d'où :

(Télécharger la fiche pour voir toutes les formules)

B) Définition

Déterminer l'entier relatif q et l'entier naturel r tel que a=b*q+r avec 0≤r

Exemple : (Télécharger la fiche pour voir l'exemple)

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