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Dérivation - Fiche Bac Maths

Introduction

Les notions de nombre dérivé et de fonction dérivée ont déjà été abordées dans les classes antérieures.

Néanmoins, un rappel est toujours utile pour bien comprendre la définition de nombre dérivé à droite et à gauche, la dérivée d'une fonction composée, les dérivées successives et autres nouveautés.

1. Définition du nombre dérivé

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2. Tangente à une courbe

La tangente en A (a,b) à la courbe C, représentative de f : c'est la droite passant par A, de coefficent directeur.

Une équation de la tangente en A est :

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3. L'approximation affine

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4. Définition d'une fonction dérivable

Si f est une fonction définie sur un intervalle J et si, en chaque point de J, f admet un nombre dérivé, alors f est dérivable sur J.

De même, la fonction qui à chaque x0 de J associe le nombre dérivé de f en x0 est la fonction dérivée, on la note f'.

Le tableau suivant récapitule les dérivées des fonctions usuelles :

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5. Nombre de dérivé à gauche et à droite

Soit une fonction f définie en M d'abscisse x0 d'un intervalle I

f est dérivable à gauche en x0 si le taux d'accroissement de f en x0 admet une limite A2 à gauche en x0 .

A2 est le nombre dérivé à gauche de f en x0 . A2 est le coefficient directeur d'une demie-tangente T2 à la courbe C représentative de f en M.

f est dérivable à droite en x0 si le taux d'accroissement de f en x0 admet une limite A1 à droite en x0 .

A1 est le nombre dérivé à droite de f en x0 . A1 est le coefficient directeur d'une demie-tangente T1 à la courbe C représentative de f en M.

6. Composition

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7. Dérivée d'une fonction composée

Théorème :

Soit la fonction h définie par h(x) = fog(x), si g est dérivable en u et f dérivable en v = g(u) alors h est dérivable en u et h'(u) = f'og (u) * g'(u)

Retenir : (f o g)' = (f' o g) * g'

8. Des fonctions dérivées à retenir

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9. Limite infinie du taux d'accroissement

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10. Dérivées successives

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11. Théorème des inégalités des accroissements finis

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12. Exemple d'application

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Conclusion

Cette fiche récapitule beaucoup de formules de fonctions dérivées qu'il est vivement conseillé de connaître par cœur.

Ce chapître sur les dérivations est, comme celui sur les limites, fondamental, pour réaliser une étude de fonctions.

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