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Chapitre 8 : Les suites - Fiche Maths

Cette fiche de révision est un résumé de cours sur les suites, un bon moyen de réviser le Baccalauréat de Mathématiques et cette épreuve importante :

On appelle une suite numérique, toute application de N dans R.
Une suite se note u, (U_n) n ∈ N ou bien (U_n) qui est la notation la plus courante.

(U_n) désigne une suite
U_n désigne un nombre

U_n est le terme général de la suite (U_n), le terme de rang n ou le terme d'indice n.
U_0 est le terme initial de la suite (U_n)

Si deux suites ont même relation de récurrence et même premier terme alors ces deux suites sont égales.

- Une suite (U_n) est croissante lorsque pour tout entier n : U_n < U_(n+1)
- Une suite (U_n) est décroissante lorsque pour tout entier n : U_n > U_(n+1)
- Une suite (U_n) est constante lorsque pour tout entier n : U_n = U_(n+1)

Pour étudier la monotonie d'une suite, il y a 3 méthodes différentes :

1/ En faisant U_n = f(n), c'est-à-dire en associant une fonction f à la suite (U_n), en calculant sa dérivée pour trouver son sens de variation sur R+.

2/ En faisant U_(n+1) -U_n. Si jamais le résultat est positif, alors U_(n+1) > U_n donc U_n est croissante. Si jamais le résultat est négatif, alors U_(n+1) < U_n donc U_n est décroissante.
Si jamais le résultat est égal à 0, alors U_n est constante car U_(n+1) = U_n.

3/ En faisant U_(n+1)/U_n -1. Si le résultat est positif, alors U_(n+1)/U_n > 1 donc U_(n+1) > U_n et donc la suite (U_n) est croissante. Si le résultat est négatif, alors U_(n+1)/U_n < 1 donc U_(n+1) < U_n et donc la suite (U_n) est décroissante. Si le résultat est égal à 0, alors U_n est constante car U_(n+1) = U_n.

- Une suite est dite majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout n, U_n < M
- Une suite est dite minorée si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout n, U_n > M
- Une suite est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

On dit qu'une suite (U_n) est une suite arithmétique, s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, on ait U_(n+1) = U_n + r.
Le réel r est appelé raison de la suite (U_n). r peut être positif ou négatif.

Une suite (U_n) est arithmétique si U_(n+1) - U_n est constante.

Pour tout entier n, la suite est arithmétique si : U_n = U_0 + r*n

Une suite arithmétique est associée à f(x) = U_0 + rx, donc la suite est croissante si r > 0 et la suite est décroissante si r < 0

Les valeurs de la suite sont situées sur la droite de coefficient directeur r passant par le point de coordonnées (0 ; U_0)

Soit (U_n) une suite arithmétique de raison r. Pour tous entiers naturels p et n, on a : U_n = U_p + (n - p) r

Car U_n = U_0 + r*n et U_p = U_0 + r*p
Donc U_n - U_p = r*n - r*p = r (n - p) donc 〖 U〗_n = U_p + (n - p) r

De manière générale, U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_p est une somme de p termes.

Le nombre de termes de la somme U_p + U_(p+1) + ... + U_q = q - p + 1

La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

S = nombre de termes * ((premier terme+ dernier terme))/2

On dit qu'une suite (U_n) est une suite arithmétique, s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, on ait U_(n+1) = q U_n.
Le réel q est appelé raison de la suite (U_n).

Pour trouver si une suite est géométrique, il suffit de faire :

1/ Calculer le quotient de U_(n+1) sur U_n et de trouver un nombre
2/ Calculer U_(n+1) et l'exprimer en fonction de U_n vu que U_(n+1) = q U_n

De manière générale, U_n = q^n U_0

- Si q < 0, la suite n'est pas monotone
- Si 0 < q < 1 et si U_0 > 0, alors la fonction est décroissante
 -Si 0 < q < 1 et si U_0 < 0, alors la fonction est croissante
- Si 1 < q et si U_0 > 0, alors la fonction est croissante
- Si 1 < q et si U_0 < 0, alors la fonction est décroissante

 Si a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique alors b² = ac

Si trois nombres positifs a, b et c vérifient b² = ac, on dit que b est la moyenne géométrique de a et de c.

Pour calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q, on applique la formule :

S = (1er terme - suivant du dernier terme)/(1- raison) c'est-à-dire (〖 U〗_(0- 〖 U〗_(n+1) ) )/(1-q)

Il existe une autre formule pour calculer la somme d'une suite géométrique :

S = Premier terme * 〖1-q〗^(nombre de termes)/(1-q)

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