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Chapitre 7 : Vecteurs et Barycentres - Fiche Maths

Une fiche de révision du programme de première S sur les vecteurs et Barycentres pour vous aidez à préparer l'épreuve de Maths au Bac S. 

Un vecteur non nul est déterminé par :
Sa direction
Son sens
Sa longueur appelée norme ||||

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si

• Relation de Chasles

Quelques soient les points de l'espace A, B et C alors
Règle du parallélogramme :   <-> OAMB est un parallélogramme

Soit un k un réel non nul et  un vecteur non nul.

Le vecteur k  est le vecteur :
Qui a la même direction que celle de 
Qui a le même sens que  si k est strictement de positif
(Ou qui a un sens contraire si  est strictement négatif)
|| k   || = |k| x ||||

Les vecteurs  et  non nuls sont colinéaires s'il existe un réel non nul k tel que :
 = k 

Trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs  et  sont colinéaires

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs  et  sont colinéaires

Deux vecteurs sont égaux si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère

Dans un repère si A (xA ; yA) et B (xB ; yB) alors les coordonnées du vecteur  sont (xB - xA ; yB - yA)

Dans un repère, les vecteurs  (x ; y) et  (x' ; y') sont colinéaires si les coordonnées sont proportionnelles donc si xy' = x'y ou xy' - x'y = 0 ou x x y - x * y = 0

A et B étant deux points du plan, a et b étant deux réels tel que l'un au moins des deux n'est pas nul, existe-t-il un point G tel que 

• Théorème et définition 

Soit A et B deux points du plan. a et b sont deux réels non nuls tous les deux. 

Si a + b ≠ 0, alors il existe un UNIQUE point G vérifiant 
Ce point est appelé barycentre des points pondérés (A ; a) et (B ; b)

Remarque :   G est le barycentre de (A ; a) et (B ; b)

Démonstration

G est le barycentre de (A ; a) et (B ; b) avec a + b ≠ 0.
Donc

Donc  sont colinéaires donc G ∈ (AB)

Le barycentre de deux points distincts A et B appartient à la droite (AB)

Remarque : Si a et b sont de même signe, le barycentre G appartient au segment [AB]. Si a et b sont de signes contraires, le barycentre G est à l'extérieur du segment [AB] et est plus proche du point dont le coefficient a la plus grande valeur absolue.

• Soit k un réel non nul. Soit a et b deux réels tel que l'un des deux au moins est nul et a + b ≠ 0. G est le barycentre de (A ; a) et (B ; b).

Le barycentre reste inchangé lorsqu'on multiplie ou divise les deux coefficients par un même nombre non nul.

• G est le milieu de [AB]. 

G est le barycentre de (A ; 1) et (B ; 1)
G est le barycentre de (A ; a) et (B ; a)

Le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 1) est le milieu du segment [AB]. Plus généralement, si a ≠ 0, le barycentre des points pondérés (A ; a) et (B ; a) est le milieu du segment [AB].

On dit aussi que c'est l'isobarycentre des points A et B.

• M étant un point quelconque, est-il possible d'écrire plus simplement la somme a(→┬MA ) + b(→┬MB ) ?

Supposons a + b ≠ 0 alors il existe G barycentre des points (A ; a) et (B ; b).

• Soit a et b deux réels tels que a + b ≠ 0 et soit G le barycentre de (A ; a) et (B ; b). Pour tout point M du plan,

Supposons a + b = 0

• Soit a et b deux réels tels que a + b = 0, pour tout point M du plan, le vecteur a→┬MA + b→┬MB est indépendant du point M.

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