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MATIÈRE

Chapitre 5 : Dérivation - Fiche Maths

Une fiche de révision du programme de première S sur la Dérivation :

I/ La fonction a une limite

On dit que la fonction f admet une limite qui vaut -2 lorsque x tend vers 1.
On dit aussi que lorsque x tend vers 1, f(x) tend vers -2.

On écrit lim (x → 1) f(x)= -2

II/ La limite n'existe pas

On dit que la fonction n'admet pas de limite en 0. On doit distinguer deux cas :

- Lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement négatives, alors f(x) tend vers -∞
- Lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives, alors f(x) tend vers +∞

III/ La limite est infinie

Aucun intérêt à étudier le comportement de f(x) pour x voisin de 0 par valeurs négatives. Cependant, lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives, alors f(x) tend vers +∞. On écrit alors lim (x → 0x > 0) f(x)= +∞

IV/ Taux de Variation 

Soit f une fonction définie sur Df et soit a et a+h, deux réels tels que h ≠ 0. On appelle taux de variation de la fonction f entre a et a+h le quotient :

τ(h) = (f(a+h)-f(a))/h

Si lim (h → 0) , τ(h) existe et est un réel alors on dira que la fonction f est dérivable en a. Cette limite est notée f'(a) et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a.

Le taux de variation de la fonction f entre deux réels correspond au coefficient directeur de la droite reliant les points d'abscisses concernés sur la courbe de f.

Exemple :  Est-ce que f est dérivable en 1 ? Si oui, quel nombre dérivé ?

1/ On calcule le taux de variation entre a = 1 et a + h = 1 + h

τ(h) = (f(a+h)-f(a))/h
τ(h) = (f(1+h)-f(1))/h
τ(h) = ((1+h)²-1²)/h
τ(h) = (1²+2h+h²-1)/h
τ(h) = (h²+2h)/h
τ(h) = (h (h+2))/h

Si h ≠ 0, τ(h) = h + 2

2/ On calcule la limite de τ(h) quand h tend vers 0

lim(h → 0) (h) = lim (h → 0)  h+2 (0+2=2)

On dira que 2 apparient à R, la fonction f est bien dérivable en 1. Son nombre dérivé f'(a) soit f'(1) = 2.

Le taux de variation (h) correspond au coefficient directeur de la droite AM.

Quand h s'approche de 0, la droite AM pivote autour de A qui est fixe.

La droite AM une fois qu'elle a fini de tourner autour de A (quand h est proche de 0), elle s'arrête à une position limite et cette droite est appelée tangente à la courbe représentant f au point d'abscisse 1.

y = 2x - 1

Comment déterminer l'équation de la tangente (au point d'abscisse a) ?

f'(a) = coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf. (au point d'abscisse a)

L'équation de cette tangente est de la forme y = f'(a) x + b
(On peut dire que f'(a) correspond au coefficient directeur soit a)

Le point de coordonnées (a ; f(a) ) est le seul point commun à Cf et à la tangente au point d'abscisse a.

Donc ces coordonnées vérifient l'équation (E).

Donc f(a) = f'(a) x a + b
b = f(a) - f'(a) x a

Donc (E) : y = f'(a) * x - f'(a) * a + f(a)
Donc (E) : y = f'(a) (x-a) + f(a)

Exemple : f(x) = x²   Df = Ra = 1 f'(1) = 2

Donc y = f'(a) (x-a) + f(a)
Donc y = f'(1) (x-1) + f(1)
Donc y = 2 (x-1) + 1
Donc y = 2x - 2 + 1

Donc y = 2 x - 1

Exemple : On prend la fonction f(x) = x²

On calcule le taux de variation de la fonction entre a et a + h.
(a ∈ R, a + h ∈ R tel que h ≠ 0, a + h ≠ 0)

τ(h) = (f(a+h)-f(a))/h
τ(h) = ((a+h)²-a²)/h
τ(h) = (a²+2ah+h²-a²)/h
τ(h) = (2ah+h²)/h
τ(h) = (h(2a+h))/h

Si h ≠ 0, τ(h) = 2a + h

On peut donc déterminer la limite avec le nombre dérivé lorsque h tend vers 0 :

lim (h → 0) τ(h) = lim (h → 0)  2a+h soit 2a

On dira donc que f'(a) [qui correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a] est égal à 2a.

Vu que tout est valable pour n'importe quel réel a, on a décidé de créer une nouvelle fonction f'(x) et qui à x associe f'(x). En gros, x -> f'(x)

Donc la fonction dérivée de la fonction x² c'est f'(x) = 2x.

V/ Graphiques sur les tangeantes 

Pour calculer une tangente, il suffit de faire y = f'(a) (x-a) + f(a).
Ensuite on regarde si la tangente coupe bien l'axe des ordonnées au bon endroit et si c'est bon alors ça veut dire que la fonction a bien été tracée.

Petit exemple avec la fonction x²

Imaginons qu'on est les points -3 et 5.
On sait que f'(x) = 2x

Donc lorsque x vaut -3, f'(x) = -6 et lorsque x vaut 5, f'(x) = 10.

y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = -6 (x+3) + f(-3)
y = -6x - 18 + 9
y = -6x - 9

La tangente à ce point doit couper l'axe des ordonnées en -9 !

y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = 10 (x-5) + f(5)
y = 10x - 50 + 25
y = 10x - 25

La tangente à ce point doit couper l'axe des ordonnées en -25 !
- Quand les f'(a) sont négatifs, la courbe est décroissante (visiblement).
- Quand les f'(a) sont positifs, la courbe est croissante (visiblement).

En étudiant le signe de f'(x), on saura quand est-ce que la fonction sera croissante... ou bien décroissante (variations).

1/ Trouver les fonctions dérivées des fonctions de référence

Dérivée de x -> √x

Pour tout a et h ≠ 0 tel que a + h ≠ 0 (a étant strictement positif)

τ(h) = (f(a+h)-f(a))/h
τ(h) = (√(a+h) - √a)/h
τ(h) = ((√(a+h) - √a) (√(a+h) + √a ))/(h(√(a+h) + √a ))
τ(h) = (a + h - a)/(h(√(a+h) + √a ))
τ(h) = h/(h(√(a+h) + √a ))
τ(h) = 1/((√(a+h) + √a ))

lim┬(h → 0)⁡〖τ(h) = 〗 1/((√(a+h) + √a ) ) soit 1/(2√a )

a ∈ R^+ donc forcément 1/(2√a ) ∈ R.

Donc on peut dire que la fonction x -> √x est dérivable sur R^+ (f'(x) = 1/(2√x ) )

Application : 

• Trouver le nombre dérivé de la fonction √x en 36

f'(x) = 1/(2√36 )
f'(36) = 1/(12 )

• Trouver l'équation de la tangente à la courbe représentant la fonction √x au point d'abscisse 36.

Y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = f'(36) (x-36) + f(36)
y = 1/(12 ) (x-36) + 6
y = 1/(12 )x -3 + 6
y = 1/(12 )x +3

Variations de la fonction f (√x)

Etude du signe de f'(x) pour x ∈ ]0 ; + ∞[
Pour tout x appartenant à ]0 ; + ∞[ alors f'(x) = 1/(2√x )

Et f'(x) > 0 donc f est croissante sur ]0 ; + ∞[.

Trouver les fonctions dérivées des fonctions en générale

Théorème : Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.

Soit f = u + v f est dérivable sur I.

Pour tout réel x de I, f' = u' + v'

Exemple : Soit f(x) = 1/X+ x² Df = R*

Est-ce que f(x) est dérivable (si oui sur quel ensemble) et quelle est sa fonction dérivée (f'(x) ) ?

On reconnaît que f(x) = u(x) + v(x)
Avec u(x) = 1/X et v(x) = x²

u et v sont dérivables respectivement sur R* et R.
Donc f est dérivable sur R ∩ R* = R*

Pour tout réel x appartenant à R*,

f'(x) = u'(x) + v'(x)
f'(x) = -1/X² + 2x

Autre exemple avec la fonction k(t) = t³ - 3/2 t² + 1

On peut dire que k(t) = u(t) + v(t) + w(t)
Avec u(t) = t³ v(t) = - 3/2 t² et w(t) = 1

U est dérivable sur R et pour tout réel t, u'(t) = 3t²
V est dérivable sur R et pour tout réel t, v'(t) = -3t
W est dérivable sur R et pour tout réel t, w'(t) = 0

Donc k est dérivable sur R et pour tout réel t,
k'(t) = u'(t) + v'(t) + w'(t)

Finalement, k'(t) = 3t² -3t (+ 0 que l'on sous-entend).

Avec ces formules on peut donc définir n'importe quelle fonction dérivée et surtout :

- une somme de deux fonctions
- une multiplication de deux fonctions
- une fonction multipliée par un réel
- une fonction élevée au carré
- l'inverse d'une fonction
- et le quotient de deux fonctions

VI/ Variation de f et signe de la dérivée

Soit f est dérivable sur I.

- f est croissante sur I si et seulement si f'(x) est positif pour tout réel x de I.
- f est décroissante sur I si et seulement si f'(x) est négatif pour tout réel x de I.
- f est constante sur I si et seulement si f'(x) est égal à 0.

Trois étapes à faire pour déterminer tout cela

1/ Trouver la fonction dérivée de f(x) soit f'(x)
2/ Faire l'étude du signe de f'(x)
3/ Faire le tableau de variation avec f'(x) et f(x)

VII/ Extémum local minimum et maximum

Soit f une fonction f définie sur un intervalle I et x un réel de I.

La fonction f admet un maximum (respectivement un minimum) local en x s'il existe un intervalle ouvert J inclus dans I tel que ce soit un maximum de f sur J.

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