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Chapitre 4 : Trigonométrie / Repérage - Fiche Maths

Ce document est une fiche de révision du programme de première S sur la trogonométrie et le repérage qui vous aidera dans vos révisions. 

Voici les notions importantes à retenir : 

Le cercle est orienté dans le sens trigonométrique / positif / direct.
Pour orienter un cercle, on choisit un sens de parcours sur ce cercle.

Soit □(→u ) et □(→v ) deux vecteurs non nuls.
Le couple (□(→u ) ; □(→v ) ) est un angle orienté de vecteurs.

Les mesures des angles sont en radians...

A savoir : 2∏ rad = 360° ------------ ∏ rad = 180° ------------ ∏/2 rad = 90°
∏/3 rad = 60° ----------- ∏/4 rad = 45° ---------- ∏/6 rad = 30°

La mesure d'un angle orienté peut s'écrire : (□(→OA ) ; □(→(OB ) ) ) = θ+2k ∏ près

Il faut distinguer l'angle géométrique de l'angle orienté.  Ils n'ont pas la même unité (degrés pour angle géométrique et radians pour angle orienté) et enfin l'angle géométrique est toujours positif donc égal à |θ|.

Parmi toutes les mesures a + 2k ∏ (k appartenant à Z), il en existe une seule qui appartienne à l'intervalle ]-∏ ; ∏]. C'est la mesure principale de l'angle orienté.

Exemple : On veut donner la mesure principale de l'angle orienté (-17 ∏)/3.

-6 ∏ < (-17 ∏)/3 < -5 ∏
< (-17 ∏)/3+ 6∏ < ∏
0 < ∏/3 < ∏

On ajoute on enlève un multiple de 2∏ pour arriver dans l'intervalle ]-∏ ; ∏].

La mesure principale de cet angle est donc ( ∏)/3.
(□(→u ) ; □(→u ) ) = 0 à 2k ∏ près
(□(→u ) ; □(→(-u) ) ) = ∏ à 2k ∏ près (ce n'est pas -∏, pas mesure d'angle principale)
(□(→u ) ; □(→v ) ) = ∏/2 à 2k ∏ près (lorsque on va dans le sens positif et que c'est rectangle)
(□(→u ) ; □(→v ) ) = (-∏)/2 à 2k ∏ près (lorsque on va dans le sens négatif et que c'est rectangle)

Si →u = α →v (k appartient à R), c'est-à-dire si →u et →v sont colinéaires :

(→u ; →v) = 0 + 2k ∏ près (si α est supérieur à 0)
(→u ; →v) = ∏ + 2k ∏ près (si α est inférieur à 0)

Deux vecteurs sont donc colinéaires lorsque (→u ; →v) = k ∏ (k appartient à Z)

Soit u, v et w trois vecteurs qui sont non nuls.
(→u ; →v) = (→u ; →w) + ( →w ; →v) toujours à 2k ∏ près.

Pour tous les vecteurs →┬u et →┬v non nuls :

(→v ; →u) = - (→u ; →v) à 2k ∏ près
(→(-u) ; →v) = ∏ + (→u ; →v) à 2k ∏ près
(→u ; →(-v)) = ∏ + (→u ; →v) à 2k ∏ près
(→(-u) ; →(-v)) = (→ ; →v) à 2k ∏ près

Les conséquences directes (si θ est la valeur de (→u ; →v) ...) :

(→v ; →u) = - θ à 2k ∏ près
(→(-u) ; →v) = ∏ + θ à 2k ∏ près
(→u ; →(-v)) = ∏ + θ à 2k ∏ près
(→(-u) ; →(-v)) = θ à 2k ∏ près
Le cosinus de x noté cos (x) est l'abscisse du point tandis que le sinus de x noté sin (x) est l'ordonnée du point.

Quelques propriétés :

-1 ≤ cos x ≤ 1
-1 ≤ sin x ≤ 1

(cos x)² + (sin x)² = 1
On peut écrire cela comme : cos² x + sin² x = 1

cos (x + 2k ∏) = cos x
sin (x + 2k ∏) = sin x

Pour tout réel x différent de ∏/2 + k ∏ alors tan (x) = sin⁡〖(x)〗/cos⁡(x)
Car en fait, cos (∏/2 + k ∏) est égal à 0.

Les formules trigonométriques 

cos (∏/2+x) = -sin x          sin (∏/2+x) = cos x
cos (∏/2-x) = sin x            sin (∏/2-x) = cos x

Les équations trigonompétriques 

- cos x = cos a
x = a + 2k ∏ ou x = -a + 2k ∏

- sin x = sin a
x = a + 2k ∏ ou x = ∏ - a + 2k ∏

• Les coordonnées d'un point sont les suivantes et se notent :

Coordonnées cartésiennes : M (x ; y)
Coordonnées polaires : M (r ; θ)

• Soit (O ; (→i ) ; (→j )) un repère orthonormal et soit M un point du repère qui a des cordonnées cartésiennes (x ; y)

H est le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses (Ox)

Le triangle OHM est rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore.

r² = x² + y²
r = √(x²+y²)

• On peut aussi appliquer les formules trigonométriques suivantes :

x/r = cos θ donc en conséquence x = cos θ * r
y/r = sin θ donc en conséquence y = sin θ * r

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