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Chapitre 3 : Le second degré - Fiche Maths

Ce document est une fiche de révision du programme de première S sur le second degré qui vous aidera pour vos révisions. 

Voici les notions importantes à retenir : 

I / Définition et caractéristiques du polynôme du second degré 

La fonction f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 est un polynôme du second degré appelé aussi trinôme du second degré ou trinôme

Deux polynômes sont égaux si et seulement si : * ils ont le même degré * les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux deux à deux

Exemple : f(x) = 2x² + 9x -5

•  Déterminer a et b tel que f(x) = (ax+b)(x+5) pour tout x

f(x) = (ax+b)(x+5) 2x² + 9x -5 = (ax+b)(x+5)
2x² + 9x -5 = ax² + 5ax + bx + 5b
2x² + 9x -5 = ax² + (5a+b)x + 5b

Par identification des coefficients alors :
a = 2 5a+b = 9 5b = -5
a = 2 b = -1 5x (-1) = -5

Donc f(x) = (2x-1)(x+5)

Tout trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = a [(x + b/2a)² - ∆/(4a² )] -------------> C'est la forme canonique du trinôme.

Le réel ∆ = b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme

On appelle racine d'un polynôme, tout réel a tel que f(a) = 0

Il existe un polynôme g de degré n-1 tel que f(x) = (a-x) x g(x)

Exemple : Si f(x) = -x³ +2x + 4

On constate que f(2) = 0 ---------> C'est une racine du polynôme
Donc on en conclut que f(x) = (x-2) x (ax² +bx +c)

On cherche a, b et c.
-x³ +2x +4 = (x-2) x (ax² + bx +c)
-x³ +2x + 4 = ax³ +bx² +cx -2ax² -2bx -2c
-x³ +2x +4 = ax³ + (b-2a)x² + (c-2b)x -2c

Par identification des coefficients :

a = -1 b-2a = 0 c-2b = 2 -2c = 4
a = -1 b = -2 c = -2 -2 x (-2) = 4

Donc f(x) = (x-2)(-1x² -2x -2)

II/ Résolution des équations du second degré 

ax² +bx +c = 0 avec a ≠ 0
a [(x + b/2a)² - ∆/(4a² )] = 0
(x + b/2a)² - ∆/(4a² ) = 0
(x + b/2a)² = ∆/(4a² )

1. Si jamais ∆ est strictement négatif

Un carré n'est jamais négatif donc l'équation n'a pas de solution

S = {∅}

2. Si jamais ∆ est égal à 0

(x + b/2a)² = 0
x + b/2a = 0
x = - b/2a

L'équation a une solution !

S = {- b/2a}

3. Si jamais ∆ est strictement positif

x + b/2a = √(∆/4a²) ou x + b/2a = -√(∆/4a²)
x = √(∆/4a²) - b/2a ou x = -√(∆/4a²) - b/2a
x = (-b)/2a + √∆/2a ou x = (-b)/2a - √∆/2a
x = (-b+√∆)/2a ou x = (-b-√∆)/2a

L'équation a donc deux solutions !

S = {(-b+√∆)/2a ; (-b-√∆)/2a}

• On considère le trinôme ax² +bx +c avec a ≠ 0

1.Si ∆ est strictement supérieur à 0

Le trinôme a deux racines x1 et x2

f(x) = a(x-x1)(x-x2)

2/ Si ∆ est égal à 0

Le trinôme a une racine x0

f(x) = a(x-x0)²

3/ Si ∆ est strictement négatif

Le trinôme n'a aucune racine

Aucune factorisation dans R.

Ce trinôme est du signe de a sauf entre ces racines (s'il en a) ou il est du signe de -a.

Somme : ax² +bx +c est un trinôme qui a deux racines x1 et x2

x1 + x2 = (-b-√∆)/2a + (-b+√∆)/2a
x1 + x2 = (-2b)/(2a )
x1 + x2 = b/a

Produit : ax² +bx +c est un trinôme qui a deux racines x1 et x2

x1 x2 = ((-b-√∆)/2a) ((-b+√∆)/2a)
x1 x2 = ((-b^2 )- (√∆)²)/4a²
x1 x2 = (b²- ∆)/4a²
x1 x2 = (b²-(b^2- 4ac))/4a²
x1 x2 = 4ac/4a²
x1 x2 = c/a

Si f(x) est un polynôme du second degré avec a > 0 alors la somme des racines est notée S est S = {(-b)/a} et le produit de ses racines noté P est P = {c/a}.

Si a > 0, alors c'est une parabole les bras tournés vers le haut.
Si a < 0, alors c'est une parabole les bras tournés vers le bas.

Son sommet est le point de coordonnées ((-b)/2a ; f((-b)/2a) )
Son axe de symétrie est ∆ d'équation x = (-b)/2a

Si le sommet S (xS ; yS) alors f(x) = a(x-xS)² + Ys

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