TRIER PAR
MATIÈRE

Chapitre 2 : Valeur absolue d'un nombre - Fiche Maths

(Document envoyé par Koopa)

Ce document est une fiche de révision du programme de première S sur le cours de la valeur absolue d'un nombre, elle vous permettra de réviser facilement. 

Voici les notions importantes à retenir : 

|a| est toujours positif (c'est une distance)
Si a est positif alors, |a| = a et si a est négatif alors |a| = -a
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue, |a| = |-a|

|-x-1| = |x+1| - |-x+1| = |x-1| - |x+1| = |-x-1|
|∏-x| = |-∏+x| = |x-∏| - |-2-x| = |2+x| = |x+2|
Deux expressions algébriques opposées ont la même valeur absolue.

AB représente la distance entre les réels a et b la valeur de leur différence.
AB = |a-b| = |b-a| et cette distance correspond à d (a ; b).

Si |x| est négatif alors on cherche son opposé.
Si |x| est positif alors on ne change rien.

La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues.
Cela veut donc dire que |a x b| = |a| x |b|

La valeur absolue d'un quotient est égale au quotient des valeurs absolues.
Cela veut donc dire que |a/b|= (|a|)/|b|

La valeur absolue d'une somme n'est pas égale à la somme des valeurs absolues. Sauf quand c'est du même signe (++ ou --). Donc |a+b| ≠ |a| + |b|

Pour toute expression A, √A² existe toujours, et √A² = |A|. Par exemple, si on a √((∏-4)² )alors c'est égal à |∏-4| soit 4-∏.

Pour résoudre une équation de valeurs absolues il y a deux méthodes :

1/ En utilisant les distances

Puisque |x-2| = d(x ; 2), cela revient à résoudre d(x ; 2) = 3

Il y a un écart de 3 entre le -1 et le 2

Il y a un écart de 3 entre le 2 et le 5

2/ En utilisant les propriétés des valeurs absolues

On connaît |T| = 2 ↔ T = 2 ou T = -2 donc |x-2| = 3 Donc x-2 = 3 ou bien x-2 = -3
X = 5 ou bien x = -1

S = {-1 ; 5}

Et donc si on prend l'inéquation |x-2| ≤ 3
On peut utiliser la distance donc d (x ; 2) ≤ 3
Ou on peut utiliser les propriétés des valeurs absolues
Ce qui est égal à x - 2 ≤ 3 et x - 2 ≥ -3

Donc finalement x ≤ 5 et x ≥ -1

S = [-1 ; 5]

•  Si l'on doit résoudre |x-2| ≥ 3

1/ En utilisant la distance

On cherche les réels x tels que d (x ; 2) ≥ 3

S = ]-∞ ; -1] U [5 ; +∞[

2/ En utilisant les propriétés des valeurs absolu

On sait que |T| ≥ 3 ↔ T ≤ -3 ou T ≥ 3 donc |x-2| ≥ 3
Donc x - 2 ≥ 3 ou x - 2 ≤ -3
x ≥ 5 ou x ≤ -1

S = ]-∞ ; -1] U [5 ; +∞[

• Il existe aussi le cas de l'égalité entre deux expressions de valeurs absolues.

Exemple : |2x-1| = |3-5x| est aussi égal à |2x-1| = |5x-3|

C'est égal à son opposé.

Aperçu du document

Le document Chapitre 2 : Valeur absolue d'un nombre - Fiche Maths, bac de Mathématiques . N'hésitez pas à partager Chapitre 2 : Valeur absolue d'un nombre - Fiche Maths à vos amis sur facebook

Document suivant ››
Chapitre 7 : Vecteurs et Barycentres - Fiche Maths

‹‹ Document précédent
Chapitre 1 : Révisions de Fonction - Fiche Maths