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Chapitre 12 : Les probabilités - Fiche Maths

Fiche de révision du programme de Maths de première S sur les probabilités.

I/ Ensemble de définitions 

• expérience aléatoire :

C'est une expérience dont on ne connaît pas à priori le résultat

• Eventualités / Issues possibles :

• Univers :

• Evènement :

• Evènement élémentaire :

• Evènement certain :

• Evènement impossible :

• Evènements disjoints / incompatibles :

• Evènements contraires :

• Loi de probabilités et équirépartie :

• Loi des grands nombres :

• Une loi de probabilité étant définie sur E, la probabilité d'un évènement A est la somme des probabilités des résultats qui le réalisent.

• p (A) = (nombre de cas favorables à A)/(nombre de cas possibles)

• Toute probabilité est un réel tel que 0 < p < 1

• La somme des probabilités de tous les évènements d'un même jeu est égale à 1

• p (A∪B) = p (A) + p (B) - p (A∩B)

• p (A barre) = 1 - p (A)

II / Calculs de probaibilités 

1. Utiliser un arbre : avec le lancer 

Il y a 8 résultats possibles.

1er lancer 2ème lancer 3ème lancer
2 2 2

La pièce est équilibrée, on choisit la loi équirépartie.

Chaque résultat a une probabilité de 1/8.

A ‘'Obtenir Face au 3è lancer''

p (A) = (cas favorables à A)/(cas possibles) = 4/8 = 1/2

La loi est équirépartie.

B ‘'Obtenir 2x côté pile''

p (B) = 3/8

C ‘'Les deux côtés apparaissent''

p (C) = 6/8 = 3/4

C barre ‘'Un seul côté apparait''

p (C barre ) = 1 - p (C) 

p (C barre ) = 1 - 1/4
p (C barre) = 3/4

2. Utiliser un tableau 

Les jetons sont tirés au hasard : on choisit la loi équirépartie qui associe à chaque issue la probabilité1/36.

Quelle est la probabilité sur deux jetons qu'on ait la même lettre ?

(nombre cas favorables)/(nombre cas possibles) = 6/36 = 1/6

• E étant l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, définir une variable aléatoire c'est associer un nombre réel à chaque issue.

Exemple : On lancé une pièce deux fois de suite.

E = {PP, FF, PF, FP}

A chaque issue on associe le nombre de fois où pile apparaît.
Les valeurs possibles sont donc 0, 1 et 2.

• Soit X une variable aléatoire qui prend pour valeurs x_1,〖 x〗_2 et x_n. Lorsque à chaque valeur de x_1, on associe la probabilité de l'évènement X = x_i, on définit une nouvelle loi de probabilité sur les valeurs de la variable aléatoire appelée loi de probabilité de la variable aléatoire.

• L'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire X sont respectivement l'espérance, la variance et l'écart-type de sa loi de probabilité.

Exemple : Soit un jeu avec une pièce équilibrée. Si on a pile on perd 10€ et le jeu s'arrête. Si on a face et qu'on réobtient face, on gagne 20€ et le jeu s'arrête. Si on a eu pile au second lancer, on ne gagne rien et le jeu s'arrête.

S'agit-il d'un jeu équitable ?

E = {P, FF, FP}

X = -10€ (un seul Pile)
X = 0€ (un Face et un Pile)
X = 20€ (deux faces)

L'espérance de ce jeu est 0, donc il est équitable.

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