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Chapitre 10 : Application du produit scalaire - Fiche Maths

(Document envoyé par Koopa)

Ce document est une fiche de révision du programme de Maths de première S sur l'application du produit scalaire. 

• Pour trouver l'équation d'une droite (AB)

Il suffit d'ajouter un point M sur la droite (AB) et d'en déduire que (AM) et (AB) sont colinéaires (de même sens ou non, peu importe).

Ensuite, on applique la propriété de colinéarité : x y' = x' y ou x y' - x' y = 0

• Pour trouver l'équation d'une médiatrice à un segment [AB]

Il suffit de déduire que la médiatrice coupe le segment [AB] en son milieu, un point I. Ensuite, on calcule les coordonnées de I et on met un point M n'importe où sur la médiatrice.

On peut donc déduire que (AB) et (IM) sont orthogonaux (car c'est une médiatrice).

On applique le produit scalaire en indiquant que (AB.(IM) = 0

A partir de cela, on calcule (AB) et (IM). Et, on applique : x x' + y y' = 0

• Dans un repère (O ; i ; j) du plan, toute droite admet une équation de la forme 

ax + by + c = 0 où l'un des nombres a ou b est non nul : c'est une équation dite cartésienne de la droite.

Réciproquement, si a ou b non nul, toute équation de la forme ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite dont un vecteur directeur u est de coordonnées (-b ; a).

• Pour trouver l'équation d'une droite (AB) avec le vecteur directeur

On détermine le vecteur (AB). Ensuite, on applique le vecteur directeur (AB) de coordonnées (-b ; a). Si (AB) (-6 ; 4) alors l'équation sera de la forme ax + by + c = 0

On sait que -b = -6 donc b = 6 et a = 4

Donc cela devient 4x -6y + c = 0

• Pour déterminer c qui est une constante, on prend un point qui est sur la droite (AB) donc soit A, soit B et on modifie l'équation trouvée auparavant.

Réciproquement, si l'on a l'équation qui nous est donnée, comme -3x + y + 1 = 0 alors on peut déterminer les coordonnées du vecteur directeur (AB) ⃗.

Il est de la forme (AB)(-b ; a) avec b = 1 donc b = -1 et a = -3

Donc (AB)(-1 ; -3).

• Un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur d'une droite correspond à un vecteur normal à la droite en question.

u(-b ; a) correspond à un vecteur directeur
n(a ; b) correspond à un vecteur normal

• Dans un repère orthonormal, une droite de vecteur normal n(a ; b) a pour équation cartésienne ax + by + c = 0.

• Pour trouver l'équation d'une hauteur ou autre avec un vecteur normal

Tout d'abord on fait un schéma puis ensuite on détermine le vecteur normal par rapport à la droite (les deux doivent être perpendiculaires).

Ensuite, on sait qu'un vecteur normal est de la forme (a ; b) donc on peut trouver l'équation en faisant ax + by + c = 0 en remplaçant a par sa valeur et pareil pour b.

On trouve la constante c en trouvant un point qui passe sur la droite. On remplace dans l'équation ax + by + c avec les coordonnées du point (x ; y), on trouve c.
Dans un repère orthonormal, une équation du cercle de centre A (xA ; yA) et de rayon R est (x - xA)² + (y - yA)² = R²

• Il y a deux méthodes pour trouver l'équation d'un cercle :

1ère méthode : On connaît le rayon et le centre A du cercle.
On applique la formule (x - xA)² + (y - yA)² = R²

2ème méthode : On connaît seulement un diamètre [AB] du cercle.
On injecte un point M sur le cercle, on conclut que (MA) ⃗ . (MB) ⃗ = 0

Ensuite, on calcule (MA) ⃗ et (MB) ⃗ séparément, comme le produit scalaire est nul, on peut appliquer la formule qui nous dit que x x' + y y' = 0

Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tel que (MA) ⃗ . (MB) ⃗ = 0

• Le point I étant le milieu du segment [AB], pour tout point M du plan, nous pouvons dire que :

MA² + MB² = 2 MI² + ½ AB² et MA² - MB² = 2 (IM) ⃗ . (AB) ⃗

On appelle ce théorème, théorème de la médiane.

• On note le côté BC avec un a, le côté AC avec un b, le côté AB avec un c.

S correspond à l'aire du triangle ABC

Soit ABC un triangle. On pose a = BC, b = AC et c = AB

D'après le théorème d'Al-Kashi :

a² = b² + c² - 2 b*c cos A
b² = a² + c² - 2 a*c cos B
c² = a² + b² - 2 a*b cos C

Remarque : Si jamais ABC est rectangle en A, alors le cosinus de l'angle considéré vaut 0°C au vu du faire que cos 90° = 0 donc on retrouve Pythagore.

• Soit ABC un triangle dont l'aire S est : S = ½ bc sin A ̂ ou S = ½ ac sin B ̂ ou bien encore S = ½ ab sin C ̂

Démonstration : 

H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

S = (b * h)/2

S = (BC * AH)/2

ABH est un triangle rectangle en H donc :

sin B ̂ = AH/AB

Donc AH = AB * sin B ̂

S = (BC * AH)/2
S = ½ BC * AB * sin B ̂

Remarque :

Cette technique marche dans tous les cas de figure, même si l'angle B ̂ considéré est obtus car au final, sin (∏ - B ̂) = sin B ̂.

• Formules d'addition :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a

Démonstration :

cos (a + b)
= cos (a - (-b))
= cos a cos (-b) + sin a + sin (-b)
= cos a cos b - sin a sin b

sin (a - b)
= sin (a + (-b))
= sin a cos (-b) + sin (-b) cos a
= sin a cos b - sin b cos a

• Formules de duplication :

sin (2 a) = 2 sin a cos a
cos (2 a) = 1 - 2 sin ² a ou 2 cos ² a - 1

Démonstration :

cos (2 a)
= cos (a + a)
= cos a cos a - sin a sin a
= cos ² a - sin ² a
= 1 - sin ² a - sin ² a
= 1 - 2 sin ² a

cos (2 a)
= cos (a + a)
= cos a cos a - sin a sin a
= cos ² a - sin ² a
= cos ² a - (1 - cos ² a)
= cos ² a - 1 + cos ² a
= 2 cos ² a - 1

sin (2 a)
= sin (a + a)
= sin a cos a + sin a cos a
= 2 sin a cos a

(cos x + sin x)²
= cos ² x + 2 * cos x * sin x + sin ² x
= 1 + 2 * cos x * sin x
= 1 + sin (2 x)

(cos x - sin x)²
= cos ² x - 2 * cos x * sin x + sin ² x
= 1 - 2 * cos x * sin x
= 1 - 2 sin (2 x)

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